公元十三世紀義大利數學家 Leonardo Pisano Bigollo (1170-1250)，又名 Leonardo Fibonacci，在研究兔群生長的問題時發明了一種無窮數列：第 項為 ，第 項為 ，以後的各項等於之前兩項之和。後人稱它為費布納西數列，下面列出最初幾項：

費布納西數列和許多自然界現象的數學結構有密切關係。大多數植物的花瓣數目都屬於費布納西數（費布納西數列的各項）。大型向日葵頭上的小花（floret）排列成兩組交錯螺線，一組順時針旋轉，另一組逆時針旋轉。兩組螺線確切的數目由品種決定，但通常是兩相鄰的費布納西數[1]，譬如， 與 ，或 與 [維基百科圖例]。不僅如此，兩相鄰費布納西數的比趨於黃金比例：

例如，，。西方人著迷黃金比例已有超過二千年的歷史[2]，費布納西數列與黃金比例的特殊關係更因此讓它蒙上一層神秘色彩。由於上述種種原因，費布納西數列經常出現於大眾文化中，如電影、文學、視覺藝術，甚至音樂[3]。本文要討論的是一個單純的數學問題：如何推導費布納西數列的一般表達式？

Leonardo Fibonacci From http://www.fibonacci.name/images/Fibonacci.jpeg

 
令 代表費布納西數列的第 項，遞歸生成規則可用差分方程表示如下：

，

並且給定初始條件 和 。運用中學初等代數即可求出 [4]，下面我介紹線性代數解法。首先，將二階差分方程改為矩陣表述。引入一恆等式，如下：

再以矩陣表示為

。

令 ，就得到一標準式：

，

其中 ，初始條件為 。

 
解差分方程等同於計算冪矩陣 ，因為

。

只要算出 ，令之與初始向量 相乘即得 。當 階矩陣 是可對角化時（若 不可對角化，請見“利用 Jordan form 解差分方程與微分方程”）， 的計算工作變得十分簡單。設 ，其中 ， 是 的特徵值，可逆矩陣  的行向量由對應的特徵向量 組成。因為 ，於是有下列簡化形式：

。

此外，我們也可以將 表示成特徵向量 的線性組合。令 ，展開矩陣乘法可得通解，如下：

設 ，上式便為 ，解出係數 即大功告成。

 
以下是費布納西數列表達式的詳細推導過程。

步驟一：解出特徵值與特徵向量。

寫出方陣 的特徵多項式：

，

可得兩共軛根：

，

觀察出 ，。接著計算零空間 和 的基底，此即對應的特徵向量：

，

於是有通解：

。

步驟二：使用初始條件計算組合係數。

設 ，代入初始條件 ，

，

由此解出 ，，故得

。

費布納西數列的表達式即為 的第二個元：

。

 
從費布納西數列的表達式可推演出下列性質。

(1) 當 增大時，第二項 迅速趨於 ，因此

，

並可驗證兩相鄰費布納西數的比趨於黃金比例：

。

(2) 冪矩陣 可用費布納西數表示為

。

計算 可得 的第 行，此即 。計算 可得 的第 行，如下：

。

(3) 由 (2)，，就得到 Cassini 恆等式：

。

 
參考來源

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_numbers_in_popular_culture

[4] http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0%E5%88%97

廣義化或稱一般化，是指將概念的定義予以修改或擴充使其適用於更大的範圍。廣義化是擴展數學理論與應用最常使用的方法之一，線性代數也有許多廣義化的斧鑿痕跡，函數空間（function space）即是一個明顯的例子。函數空間既是向量空間也是內積空間，因此內積空間的性質與運算同樣適用於函數空間（見“從幾何向量空間到函數空間”）。本文運用 Gram-Schmidt 正交化程序推導實多項式空間的一組正交基底──Legendre 多項式，給出一遞歸生成公式，並討論 Legendre 多項式在函數近似的應用。

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) From http://images.math.cnrs.fr/local/cache-vignettes/L272xH300/arton948-3205c.jpg

Louis Legendre (1752-1797) From http://scienceworld.wolfram.com/biography/pics/Legendre.jpg

 
令 為定義於區間 的連續實函數所構成的內積空間，設 和 屬於 ，我們定義 和 的內積如下（見“內積的定義”）：

，

其中 為一正函數，稱為權重函數（weighting function）。在某些情況下，若無法取得區間 中完整的連續函數值，可使用離散運算逼近：

。

若 ，我們稱 和 正交。例如，當 ，定義於區間 的函數 和 正交：

。

又如內積定義於 且 ，不難驗證若 ，正弦函數 和餘弦函數 正交。

 
令 表示定義於區間 的 次實多項式形成的函數空間，對於 ，定義其內積為

。

如同幾何向量空間 和 ，我們關心 的正交基底的動機也是為了計算正交投影，以求得最小平方近似函數。運用 Gram-Schmidt 正交化可獲得 的一組正交基底（見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”），表示為 ，其中 為 次多項式，且當 ，。下面我們解說詳細的推導過程。針對 ，先令 。如前述，在區間 ， 正交於 ，立得 。再將 投影至 和 的分量扣除：

，

因為投影殘量同時正交 和 ，故令 。同樣地，繼續將 投影至 的分量扣除：

，

也就得到 。重複上述步驟即可導出 的一組完整正交基底，以下是前幾個多項式：

 
當 增大時，Gram-Schmidt 正交化程序變得十分冗長，下面介紹一個較為簡潔的正交基底生成法。我們引用一個數值分析性質，即任何 的正交基底序列都遵守下面的三項遞歸公式：

，

其中係數 由多項式 和 的領先係數以及 和 決定。令 為 的領先係數，代入遞歸公式，比較等號兩邊 的係數，即得

。

因為我們要求正交基底，即對於 ，，也就有

，

。

由第一式可得

。

考慮領先係數，將 次多項式 表示如下：

，

利用 的正交性質化簡 和 的內積：

，

將此結果代回第二式即得

。

如果選擇首一（monic）多項式作為基底，所有領先係數皆為 ，就有

，

前述 的正交基底便可由下列遞歸方式生成：

。

 
如果我們對多項式“正規化”使得 ，則首一性質 不復成立，多項式的領先係數由正規化條件決定，下面列出前幾個正規化多項式：

此即為 Legendre 多項式，見下圖。Legerdre 多項式還可用 Rodrigue 公式（見 [1]）表示如下：

由此並可證明（見 [2]）

。

Legendre polynomials From http://www.efunda.com/math/legendre/images/LegendrePPlot.gif

 
最後我們討論多項式函數近似問題。給定一定義於區間 的實函數 ，我們希望以一（至多） 次實多項式 來近似它，使得下列誤差平方最小：

，

滿足此條件的多項式稱作 的最小平方近似，其實也就是 在實多項式空間 的正交投影（見“正交補集與投影定理”）。令 是 的一組正交基底，則任一 可唯一表示為

。

如同 Gram-Schmidt 正交化程序所示，持續計算 至基底 的正交投影，總合其結果就得到 至 的正交投影，故最小平方近似函數 的組合係數為

。

 
見下例，指數函數 的無窮展開級數如下：

考慮區間 ，試求一三次多項式 使之最近似 ，也就是找出 ，，使最小化誤差平方：

。

為簡化數值計算，我們採用首一 Legendre 多項式作為 的基底，則 可表示為

接下來，尋求最小平方近似的工作純粹是計算 ，結果如下：

由此得到組合係數：

故於區間 最近似 的三次多項式為

將此函數與 比較可發現兩者的係數相當接近，原因在於我們設定的近似區間 ，當 增大時， 迅速趨於零。

 
引用來源：

[1] 維基百科 Rodrigues’ formula

[2] Properties of Legendre Polynomials

Pow-Feb-20-12

網友延伸寸提供的做法（見迴響）也一併放入參考解答。

PowSol-Feb-20-12

正交投影是一個威力強大的變換工具，它最主要的用途在於有效地分解向量空間。我們曾經在“正交投影──威力強大的代數工具”介紹正交投影矩陣的計算方法，並且利用正交投影解決了最小平方近似問題（見“從線性變換解釋最小平方近似”）。本文欲進一步探討正交投影矩陣的性質和界定條件，並討論兩個正交子空間的正交投影矩陣關係。

 
在複向量空間 中，向量 和 的標準內積定義為 （見“內積的定義”）。若 ，我們說 正交於 ，記為 。考慮 的直和分解 ， 是子空間    的正交補集。正交分解定理（見“正交補集與投影定理”）說：任一向量 可唯一分解為 ，其中 ，，。執行此分解任務的線性變換就是正交投影。每一子空間 均有唯一的（正交）投影矩陣，因為對於任何 ， 蘊含 ，唯有 滿足此條件。由於 由子空間   唯一決定，我們不需要說 階矩陣 將向量 沿著 正交投影至 ，可直接說 是 的正交投影矩陣，記為 。矩陣 將 的所有向量投影至 ，就有 。又因為 是一正交投影矩陣，故對於 ，，亦即 。

 
令 是 的一個子空間且 是子空間 的正交投影矩陣，則 滿足下列兩個性質：

性質一：對於所有 ，。

性質二：對於所有 ，。

性質一的直觀解釋是子空間 中任何向量的投影仍為其自身。性質二闡述正交投影的最重要的幾何意涵：正交投影後的殘量正交於投影子空間。

 
下面的定理說明正交投影矩陣的主要界定條件。

定理一：若 為一正交投影矩陣，則 ，反之亦然。

：設 ，即知 。任一 皆可表示為 ，。利用性質一可得

，

然而 是任意向量，故 。性質二指出投影殘差 ，亦即對於任一 ，都有 ，以內積運算表達如下：

。

但 和 是任意向量，於是有 ，又 ，證得 。

：設 ，並令 ，。對於 ，必有 使得 ，等號兩邊同時左乘 ，即得 ，證明性質一成立。接下來若能證明 ，秩─零度定理 便表明 ，也就證得 是沿著 至 的投影，亦即正交投影。對於任意 ，，使用 （因為 ），

，

因此證明 正交於 。

 
對於一 階矩陣 ，若 ，我們稱之為冪等矩陣（見“特殊矩陣 (五)：冪等矩陣”）。由定理一可知冪等矩陣即為投影矩陣，如果再加入一個條件： 是 Hermitian，，則 便成為正交投影矩陣。定理二保證正交投影 的長度必不大於原向量 的長度。

 
定理二：若 為一正交投影矩陣，則對於所有 ，。

根據定理一，可得

，

利用此結果計算

。

觀察出 且 ，得知 也是一正交投影，再利用前面不等式，，故得證。

 
如果 是冪等矩陣並且滿足定理二的不等性質，這兩個條件同樣也可以界定正交投影；換句話說，任何不會增長向量長度的投影必為正交投影，見定理三。

定理三：若 為一冪等矩陣，，且對於所有 ，，則 。

設 ，令 ，，只要能證明 ，即知 是正交投影矩陣，由定理一可得證。若 ，則 屬於 ，原因是

。

所以 再加上 足以推論

。

上式迫使 ，就有 ，故知 ，這說明 。再看反向論述，若 ，，寫出 ，其中 ，。但 （原因是 ， 也就屬於 ），就有 ，即知 ，所以 ，證得 。

 
試舉一個反例，考慮下列冪等矩陣：

，

其中 。向量 的投影為

，

則

很容易證明若 ，則必定存在 使得 。

 
下一個問題是討論如何利用正交投影矩陣判定兩子空間是否正交。我們說兩正交投影矩陣 和 是“正交的”，若 。這也意味 ，因為 。定理四證明正交的正交投影矩陣等價於正交的投影子空間。

定理四：若兩正交投影矩陣 和 是正交的，則 正交於 ，反之亦然。

設 ，。若 且 ，，則

。

相反地，若 ，可知 。對於所有 ，考慮 ，就有 （因為 也屬於 ），故 。

 
最後我們介紹定理四的一個必然結果：令 ，。若 ，則 ，反向陳述亦為真。理由如下：設 ，，將 表示為 。因為 ，由正交分解定理可推論 ，因此 。相反地，設 ，則 表明 ，接著只要證明 即證得 是 的正交補集。因為 ，，利用下列性質（證明見“特殊矩陣 (五)：冪等矩陣”）：

，

即得 ，最後等式來自秩─零度定理。

 
如欲將本文討論的範疇從向量空間 推廣至一般的內積空間，僅需將符號定義與運算規則稍作修改即可。設 是一內積空間，其中任兩向量 和 的內積定義為 。令 是 的一子空間，同樣地，我們也可以令線性變換 為 的正交投影，而 則稱為 的伴隨（見“線性泛函與伴隨”）。對於任意 ， 和 滿足下列性質：

。

讀者可以自行練習運用這套符號與規則於上述所有的定理及證明過程上。

Pow-Feb-13-12

參考解答

PowSol-Feb-13-12

設 是 中標準內積，且 ，。令 是 實方陣，且考慮 ，。假設 ，存在一正數 ，使得 ，對所有 滿足 。那麼我們可以說： 對所有 成立嗎？ Prove or disprove it.

找到一個反例:

且

。

這樣可以嗎？ 有誤解題目意思嗎？

 
答曰：

先將給出的數值代入計算 ，得到

這與命題前提 不符。如果將 和 調換，即 ，，就有 。事實上，此例不論我們如何選擇 ，上述不等式皆成立。但是這僅為原命題成立的一個特殊案例，若方陣 改變，此性質依然成立嗎？下面我用特徵分析方法證明原命題確實為真。

 
函數 稱作二次型（quadratic form），對角化 是最常使用的分析技巧，然而 為任意實矩陣，故未必可對角化，那該怎麼辦？關鍵在於二次型具備的獨特形式。任何方陣 可分解為對稱和反對稱（skew-symmetric）矩陣之和，，其中

明顯地，，。考慮

利用反對稱矩陣性質及 計算右項，

也就是說，對任意 ，，因此 ，二次型的實矩陣 可替換為其對稱部分 。實對稱矩陣具備兩個美好的性質：所有特徵值皆為實數，並可選擇一組正交正規（orthonormal）特徵向量。為方便討論，將實對稱矩陣 的特徵值按遞減排序：。以下考慮簡化後的等價問題：

設 是 實對稱矩陣，考慮 ，。假設 ，存在一正數 ，使得 ，對所有 滿足 。那麼我們可以說： 對所有 成立嗎？

 
換個較為白話的說法：如果 是局部（local）最大值，那麼它也是全域（global）最大值嗎？顯然，局部最大值不一定就是全域最大值，除非所有的局部最大值亦為全域最大值。我們用約束最佳化來回答這個問題。建構 Lagrangian 函數：

，

其中 稱為 Lagrange 乘數。計算 對 的微分，

，

極值發生於 ，即 ， 是 的特徵值。又因為 ，。明顯地，欲使 最大化，我們“理當”選擇最大特徵值 ，也就是說，符合命題前提的 即是對應 的單位特徵向量。在此情況下，對任意 ，定有 。

 
讀者或許懷疑：如果令 為其他向量，譬如對應第二特徵值 的單位特徵向量，能否滿足命題前提，即存在一正數 ，使得 ，對所有 滿足 ？倘若此條件成立，那不就推翻了命題？這個問題不難回答，令 代表對應特徵值 的特徵向量，且 是一正交且正規化向量集，即 若 ， 若 。考慮 ，則 。設 ，其中 以使 ，且 使得 。但是

這說明對應第二特徵值的特徵向量不滿足前提條件（除非 ），運用同樣推理方式可推論唯有對應最大特徵值 的單位特徵向量才符合命題要求，故局部最大值即為全域最大值。

Pow-Feb-6-12

參考解答

PowSol-Feb-6-12

Pow-Jan-30-12

參考解答

PowSol-Jan-30-12

Pow-Jan-23-12

參考解答

PowSol-Jan-23-12

祝各位讀者

新年快樂 心想事成