Tag Archives: 轉置

本文的閱讀等級：中級 令 為一個 階矩陣且 和 是 維向量。通過矩陣乘法，矩陣 將 維向量 映射至 維向量 。矩陣 是一個從幾何向量空間 映至 的線性變換，因為矩陣乘法滿足 且 ， 是純量。類似地， 階轉置矩陣 (transpose) 是一個從 映至 的線性變換 (見“轉置矩陣的意義”)。既然每一個矩陣都是線性變換，我們可以反過來問：對於線性變換 ，其中 和 是有限維向量空間，如何定義線性變換 的轉置變換？1970年代以前出版的線性代數教本經常從線性變換的轉置來定義矩陣的轉置[1]。這套論述固然嚴謹扎實，但必須建立在線性泛函 (linear functional) 和對偶空間 (dual space) 的基礎上，對於非數學專業的讀者多少總會增加負擔，故現今大概只有專為數學系課程撰寫的教科書才會納入這個論點[2]。在開始討論之前，我們先回顧相關的線性泛函和對偶空間的預備知識 (詳見 “線性泛函與對偶空間”)。

本文的閱讀等級：中級 如果門徒向蘇格拉底提問：「轉置矩陣是甚麼？」蘇格拉底一如既往地回答：「不知道。」門徒於是轉而查閱課本的說法： 給定一個 階矩陣 ，轉置矩陣是一個 階矩陣，記作 ，其中 。 轉置矩陣 不過就是將 的行列對調位置而已，還有必要繼續討論下去嗎？「轉置矩陣 與原矩陣 有何關係？」誠懇向學的門徒不肯罷休又窮追猛問：「轉置矩陣 有什麼代數和幾何意義？」越是基本的問題往往越難給出令多數人滿意的答案，所以先聲明：以下言論僅為個人觀點，不代表本人服務的工作單位的立場。