忽必烈大汗注意到馬可波羅的城市，彼此之間很類似，似乎從一個城市到另一個城市的移轉，不是旅程，而是元素的變換。現在，忽必烈大汗的心靈從馬可波羅描述的城市自行出發，在一點一點地拆解了這座城市之後，他以另一種方式重新構築，換掉組成部分，移動或翻轉它們。───卡爾維諾 (Italo Calvino) 《看不見的城市》
與線性方程解有關的分解
LU 分解
適用對象：
階矩陣 
階矩陣 分解形式：
，
是下三角方陣，
是上三角方陣。注意，LU 分解未必總是存在。
， 是下三角方陣， 是上三角方陣。注意，LU 分解未必總是存在。QR 分解
適用對象：
階矩陣
階矩陣 分解形式：
，
是 
階正交 (orthogonal) 矩陣，
是 階上三角矩陣。
， 是 階正交 (orthogonal) 矩陣， 是 階上三角矩陣。- Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解
- 線代膠囊──QR 分解
- Householder 變換於 QR 分解的應用
- Givens 旋轉於 QR 分解的應用
- Gram-Schmidt 正交化改良版
- QR 分解的數值計算方法比較
Cholesky 分解
適用對象： 階實對稱正定矩陣
階實對稱正定矩陣 分解形式：
，
是下三角矩陣且主對角元皆為正數。
， 是下三角矩陣且主對角元皆為正數。奇異值分解 (Singular value decomposition)
適用對象： 階矩陣
階矩陣 分解形式：
， 是 階正交矩陣，
是 階正交矩陣，
是 階對角矩陣且主對角元皆不為負數。若 是複矩陣，則 
， 和 是么正 (unitary) 矩陣。
， 是 階正交矩陣， 是 階正交矩陣， 是 階對角矩陣且主對角元皆不為負數。若 是複矩陣，則 ， 和 是么正 (unitary) 矩陣。
與特徵值有關的分解
譜分解 (Spectral decomposition)，或稱特徵分解或對角化
適用對象： 階矩陣
階矩陣 分解形式：
，
是由 的特徵值構成的對角矩陣，
的行向量為對應的特徵向量。注意，譜分解未必總是存在。
， 是由 的特徵值構成的對角矩陣， 的行向量為對應的特徵向量。注意，譜分解未必總是存在。正交譜分解，或稱正交對角化
適用對象： 階實對稱矩陣 (或 Hermitian 矩陣)
階實對稱矩陣 (或 Hermitian 矩陣) 分解形式：
(或 
)， 是由 的特徵值構成的對角矩陣， (或 ) 是正交矩陣 (或 么正矩陣) 其行向量為對應的特徵向量。
(或 )， 是由 的特徵值構成的對角矩陣， (或 ) 是正交矩陣 (或 么正矩陣) 其行向量為對應的特徵向量。Schur 分解
適用對象： 階矩陣
階矩陣 分解形式：
，
是上三角矩陣， 是么交矩陣。
， 是上三角矩陣， 是么交矩陣。Jordan 分解
適用對象： 階矩陣
階矩陣 分解形式：
，
是 的 Jordan 形式，
的行向量為對應的廣義特徵向量。
， 是 的 Jordan 形式， 的行向量為對應的廣義特徵向量。
其他分解
極分解 (Polar decomposition)
適用對象： 階矩陣
階矩陣 分解形式：
， 是正交矩陣， 是半正定矩陣。若 是複矩陣，則 是么正矩陣。
， 是正交矩陣， 是半正定矩陣。若 是複矩陣，則 是么正矩陣。二對稱矩陣分解
適用對象： 階矩陣
階矩陣 分解形式：
，
是可逆對稱矩陣，
是對稱矩陣。
， 是可逆對稱矩陣， 是對稱矩陣。秩分解
適用對象： 階矩陣
階矩陣 分解形式：
，
是 
階矩陣，
是 
階矩陣，
。
， 是 階矩陣， 是 階矩陣，。等價標準型
適用對象： 階矩陣
階矩陣 分解形式：
，
是 階可逆矩陣， 是 階可逆矩陣，。
， 是 階可逆矩陣， 是 階可逆矩陣，。
線代啟示錄 
版主好，
不只矩陣有分解，我從網路上找到三階張量分解：
Click to access kolda_2008.pdf
Click to access FCP_TSP_final_doublecol.pdf
三階張量也具有rank，是矩陣的高維類比