線性代數的核心問題

不論哪一門學科,我們的學習活動總是透過研析它的核心問題 (big problem) 而展開。下面列舉了線性代數所要解決的四個核心問題,以及對應的主題分類:

線性系統
給定一個 m\times n 階矩陣 Am 維常數向量 \mathbf{b},求 n 維向量 \mathbf{x} 使得 A\mathbf{x}=\mathbf{b}

最小平方法
給定一個 m\times n 階矩陣 Am 維常數向量 \mathbf{b},求 n 維向量 \hat{\mathbf{x}} 使得 \Vert \mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}\Vert^2 有最小值。

特徵值與特徵向量
給定一個 n\times n 階矩陣 A,求純量 \lambdan 維向量 \mathbf{x} 使得 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}

奇異值分解
給定一個 m\times n 階矩陣 A,求 n 維單位向量 \mathbf{v}m 維單位向量 \mathbf{u} 使得 A\mathbf{v}=\sigma\mathbf{u}

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