線性代數的核心課綱

1990年，美國國家科學基金會 (NSF) 資助成立一個線性代數課程研究小組，研議新一代的大學基礎線性代數課程綱領^[1]。研究小組設定的課程目標為精通下列核心主題，並增進解決問題的能力。

 
I. 矩陣加法與乘法 (3小時)

內容包含矩陣加法、純量乘法、矩陣乘法、轉置，以及它們的代數性質，如矩陣乘法的結合律；分塊矩陣運算；矩陣乘法定義的動機，並仔細檢查矩陣積 的三種觀點：

1. 是 的行向量 (column vector) 的一種線性組合，組合係數來自 ； 的每一行可由 乘以 的對應行而得。因此， 的每一行皆為 的行向量的線性組合，組合係數來自 的對應行。若 是一對角矩陣，則 表示縮放 的行。若 是一排列 (permutation) 矩陣，則 表示置換 的行。
2. 類似地， 的列向量 (row vector) 是 的列線性組合。
3. 是行列乘法或稱外積 (outer product) 的和，即秩1─矩陣的和：

   ，

   其中 是 階， 是 階。

 
II. 線性聯立方程組 (4小時)

相關主題包括高斯消去法與基本列運算 (elementary row operation)、列梯形式與簡約列梯形式 (reduced row echelon form)、解的存在性與唯一性、逆矩陣，以及列化簡的 LU 分解表達。

 
III. 行列式 (2-3小時)

行列式於解 和 線性方程的應用，由此衍生行列式基本性質；探討行列式的應用和計算所遭遇的困難。主要內容包括：餘因子 (cofactor) 展開、行列式與列運算、，克拉瑪公式 (顯示 的解的敏感性)。

 
IV. 的性質 (7-8小時)

不以正式的向量空間，而以 維向量所成的集合引介 。定義向量加法和純量乘法，並強調幾何意義。

1. 線性組合：線性相關與獨立。
2. 的基底
3. 的子空間：擴張集、維數、列空間與行空間 ( 的值域)，以及零空間 (nullspace)。
4. 線性變換表示矩陣
5. 矩陣秩 (rank)：列秩=行秩、矩陣積，可逆子陣的關聯。
6. 回顧線性方程：解的理論，rank+nullity=行向量數。
7. 內積：長度與正交、正交/標準正交 (orthonormal) 集與基底，以及正交矩陣。

 
V. 特徵值與特徵向量 (6小時)

特徵值具有廣泛的應用，故必須分配足夠的時間覆蓋完整的主題。特徵向量可以透過幾何例子介紹並提供動機。

1. 特徵方程
2. 特徵多項式與某些係數 (跡數，行列式) 的識別，特徵值的代數重數。
3. 特徵空間，幾何重數。
4. 相似：相異特徵值與可對角化 (強調 )。
5. 對稱矩陣：正交可對角化，二次型。

 
VI. 更多正交 (4小時)

包括標準內容並強調幾何解釋：至子空間的正交投影、Gram-Schmidt 正交化並以 QR 分解表達，以及最小平方法與它在直線配適 (line-fitting) 的應用。

 
VII. 補充主題

根據學生興趣與容許時間，挑選其他主題：抽象向量空間、線性變換、正定矩陣、對稱矩陣的相合 (congruence) 變換、奇異值分解、矩陣範數。應用介紹，例如，馬可夫鏈、輸入輸出模型、Leslie 矩陣、差分方程與微分方程，和線性規劃。

 
引用來源：
[1] David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay, and A. Duane Porter, The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra, The College Mathematical Journal, Vol. 24, No. 1, 1993, pp 41-46.

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