數據充分性問題

數據充分性 (data sufficiency) 題型的設計目的在於測驗基本知識、邏輯推理和思考能力。每一個問題包含兩部分:問題本身 (含已知條件) 以及二個陳述 (標記為1和2)。我們要決定這二個陳述的充分性,即是否足以回答給定的問題,共有五個選項:

(A) 陳述1足以回答這個問題,但陳述2不足以回答這個問題
(B) 陳述2足以回答這個問題,但陳述1不足以回答這個問題
(C) 二個陳述一起足以回答這個問題,但僅用單一陳述不足以回答這個問題
(D) 每一個單獨陳述足以回答這個問題
(E) 二個陳述一起不足以回答這個問題,並且需要額外數據來回答這個問題

由於解答過程主要涉及論證,因此幾乎不需或僅需少量計算。一般來說,數據充分性問題包含兩種類型:判斷問題和求值問題。判斷問題要求論證存在性,求值問題則論證唯一性。下面列舉二個例子。

 
例一:判斷問題

If A is a singular matrix, is A\mathbf{x}=\mathbf{b} consistent?

  1. \mathbf{b} is in the row space of A.
  2. \mathbf{b} is in the nullspace of A.

答案:E
解釋:由 (1) 我們知道存在 \mathbf{y} 使得 \mathbf{b}=A^T\mathbf{y},但這不表示 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有解。由 (2) 我們知道 A\mathbf{b}=\mathbf{0},但這也不表示 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有解。所以答案應選 E。線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有解的充要條件是 \mathbf{b} 屬於 A 的行空間 (column space)。

 
例二:求值問題

If A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix},what are the eigenvalues of A?

  1. \det A=6
  2. \text{trace}A=5

答案:C
解釋:設 2\times 2 階矩陣 A 的特徵值為 \lambda_1\lambda_2,則 A 的特徵多項式為

p(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)=t^2-(\lambda_1+\lambda_2)t+\lambda_1\lambda_2

因為 \det A=\lambda_1\lambda_2\text{trace}A=\lambda_1+\lambda_2,可知 p(t)=t^2-(\text{trace}A)t+\det A,故條件 (1) 和 (2) 一起可解出 p(t) 的二根 \lambda_1\lambda_2,缺一不可。所以答案是 C。

 
問題列表

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s