矩陣分解

忽必烈大汗注意到馬可波羅的城市,彼此之間很類似,似乎從一個城市到另一個城市的移轉,不是旅程,而是元素的變換。現在,忽必烈大汗的心靈從馬可波羅描述的城市自行出發,在一點一點地拆解了這座城市之後,他以另一種方式重新構築,換掉組成部分,移動或翻轉它們。

───卡爾維諾 (Italo Calvino) 《看不見的城市》

 

與線性方程解有關的分解

LU 分解
適用對象:n\times n 階矩陣 A
分解形式:A=LUL 是下三角方陣,U 是上三角方陣。注意,LU 分解未必總是存在。
QR 分解
適用對象:m\times n 階矩陣 A
分解形式:A=QRQm\times m 階正交矩陣,Rm\times n 階上三角矩陣。
Cholesky 分解
適用對象:n\times n 階實對稱正定矩陣 A
分解形式:A=GG^TG 是下三角矩陣且主對角元皆為正數。
奇異值分解 (Singular value decomposition)
適用對象:m\times n 階矩陣 A
分解形式:A=U\Sigma V^{T}Um\times m 階正交矩陣,Vn\times n 階正交矩陣,\Sigmam\times n 階對角矩陣且主對角元皆不為負數。若 A 是複矩陣,則 A=U\Sigma V^{\ast}UV 是么正矩陣。

 

與特徵值有關的分解

譜分解 (Spectral decomposition),或稱特徵分解或對角化
適用對象:n\times n 階矩陣 A
分解形式:A=S\Lambda S^{-1}\Lambda 是由 A 的特徵值構成的對角矩陣,S 的行向量為對應的特徵向量。注意,譜分解未必總是存在。
正交譜分解,或稱正交對角化
適用對象:n\times n 階實對稱矩陣 (或 Hermitian 矩陣) A
分解形式:A=Q\Lambda Q^{T} (或 A=U\Lambda U^{\ast}),\Lambda 是由 A 的特徵值構成的對角矩陣,Q (或 U) 是正交矩陣 (或 么正矩陣) 其行向量為對應的特徵向量。
Schur 分解
適用對象:n\times n 階矩陣 A
分解形式:A=QTQ^{T}T 是上三角矩陣,Q 是正交矩陣。若 A 是複矩陣,則 Q 是么正矩陣。
Jordan 分解
適用對象:n\times n 階矩陣 A
分解形式:A=MJM^{-1}JA 的 Jordan 形式,M 的行向量為對應的廣義特徵向量。

 

其他分解

極分解
適用對象:n\times n 階矩陣 A
分解形式:A=QSQ 是正交矩陣,S 是半正定矩陣。若 A 是複矩陣,則 Q 是么正矩陣。
二對稱矩陣分解
適用對象:n\times n 階矩陣 A
分解形式:A=BCB 是可逆對稱矩陣,C 是對稱矩陣。
秩分解
適用對象:m\times n 階矩陣 A
分解形式:A=XYXm\times r 階矩陣,Yr\times n 階矩陣,r=\mathrm{rank}A
等價標準型
適用對象:m\times n 階矩陣 A
分解形式:A=P\begin{bmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix}QPm\times m 階可逆矩陣,Qn\times n 階可逆矩陣,r=\mathrm{rank}A

1 則回應給 矩陣分解

  1. wonderlandtommy 說:

    版主好,
    不只矩陣有分解,我從網路上找到三階張量分解:
    http://www.mat.uniroma2.it/~tvmsscho/Rome-Moscow_School/2012/files/kolda_2008.pdf
    http://www.bsp.brain.riken.jp/~phan/FCP_TSP_final_doublecol.pdf
    三階張量也具有rank,是矩陣的高維類比

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