矩陣的特徵值與特徵向量

A 為一個 n\times n 階矩陣,\lambda_i\lambda(A) 表示特徵值,\mathbf{x}_i\mathbf{x}(A) 表示對應的特徵向量。

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特徵值與特徵向量的計算與化簡方法:

 
一般性質

逆矩陣
B=A^{-1}
特徵值:\lambda(B)=1/\lambda(A)
特徵向量:\mathbf{x}(B)=\mathbf{x}(A)
    冪矩陣
    B=A^k
    特徵值:\lambda(B)=(\lambda(A))^k
    特徵向量:\mathbf{x}(B)=\mathbf{x}(A),但若 \lambda(A)=0\lambda(B)=0 的幾何重數會隨 k 增大至代數重數。
    平移
    B=A+cI
    特徵值:\lambda(B)=\lambda(A)+c
    特徵向量:\mathbf{x}(B)=\mathbf{x}(A)
      矩陣多項式
      B=c_kA^k+\cdots+c_1A+c_0I
      特徵值:\lambda(B)=c_k(\lambda(A))^k+\cdots+c_1\lambda(A)+c_0
      特徵向量:\mathbf{x}(B)=\mathbf{x}(A)
        矩陣指數
        B=e^{A}
        特徵值:\lambda(B)=e^{\lambda(A)}
        特徵向量:\mathbf{x}(B)=\mathbf{x}(A)
        矩陣函數
        B=f(A)
        特徵值:\lambda(B)=f(\lambda(A))
        特徵向量:\mathbf{x}(B)=\mathbf{x}(A)
          相似
          B=M^{-1}AM
          特徵值:\lambda(B)=\lambda(A)
          特徵向量:\mathbf{x}(B)=M^{-1}\mathbf{x}(A)

          特殊矩陣

          秩一(rank-one)矩陣
          A=\mathbf{u}\mathbf{v}^{\ast} (實矩陣 A=\mathbf{u}\mathbf{v}^T)
          特徵值:\lambda_1=\mathbf{v}^{\ast}\mathbf{u},~\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0
          特徵向量:\mathbf{x}_1=\mathbf{u},~\mathbf{x}_i\in(\mathrm{span}\{\mathbf{v}\})^{\perp},~~i=2,\ldots,n
          平面旋轉矩陣
          A=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\!\!\right]
          特徵值:\lambda_1=e^{i\theta},~\lambda_2=e^{-i\theta}
          特徵向量:\mathbf{x}_1=\begin{bmatrix} 1\\ i \end{bmatrix},~\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -i \end{array}\!\!\right]
          正規(normal)矩陣
          A^{\ast}A=AA^{\ast}
          特徵值:未定
          特徵向量:彼此正交 \mathbf{x}_i^{\ast}\mathbf{x}_j=0
          常見的正規矩陣包括:Hermitian 矩陣/實對稱矩陣,skew-Hermitian 矩陣/反對稱矩陣,正定矩陣,么正矩陣/正交矩陣。
          Hermitian 矩陣/實對稱矩陣
          A^{\ast}=A (實矩陣 A^T=A)
          特徵值:實數
          特徵向量:\mathbf{x}_i^{\ast}\mathbf{x}_j=0 (實矩陣 \mathbf{x}_i^T\mathbf{x}_j=0)
          skew-Hermitian 矩陣/反對稱矩陣
          A^{\ast}=-A (實矩陣 A^T=-A)
          特徵值:純虛數
          特徵向量:\mathbf{x}_i^{\ast}\mathbf{x}_j=0
          正定(positive definite)矩陣
          對於任一非零向量 \mathbf{x}\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}>0。複正定矩陣隱含 Hermitian,實正定矩陣隱含對稱。
          特徵值:正數
          特徵向量:\mathbf{x}_i^{\ast}\mathbf{x}_j=0 (實矩陣 \mathbf{x}_i^{T}\mathbf{x}_j=0)
          Gramian 矩陣
          A=B^\ast B (實矩陣 A=B^TB),Bm\times n 階。A 是一半正定矩陣。
          特徵值:非負數
          特徵向量:\mathbf{x}_i^{\ast}\mathbf{x}_j=0 (實矩陣 \mathbf{x}_i^{T}\mathbf{x}_j=0)
          么正(unitary)矩陣/正交(orthogonal)矩陣
          A^{\ast}A=AA^{\ast}=I (實矩陣 A^TA=AA^T=I)
          特徵值:\vert\lambda_i\vert=1
          特徵向量:\mathbf{x}_i^{\ast}\mathbf{x}_j=0 (實矩陣 \mathbf{x}_i^{T}\mathbf{x}_j=0)
          冪零(nilpotent)矩陣
          存在正整數 k 使得 A^k=0
          特徵值:\lambda_i=0
          特徵向量:\mathbf{x}_i\in N(A)
          冪等(idempotent)矩陣
          A^2=A
          特徵值:\lambda_i=01
          特徵向量:對應特徵值 0 的特徵向量屬於零空間 N(A),對應特徵值 1 的特徵向量屬於行空間 C(A)
          對合(involutory)矩陣
          A^2=I
          特徵值:\lambda_i=1-1
          特徵向量:對應特徵值 1 的特徵向量屬於行空間 C(I+A),對應特徵值 -1 的特徵向量屬於行空間 C(I-A)
          Householder 矩陣(基本鏡射矩陣)
          A=I-2\mathbf{v}\mathbf{v}^T,其中 \Vert\mathbf{v}\Vert=1
          特徵值:\lambda_1=-1\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1
          特徵向量:\mathbf{x}_1=\mathbf{v},~\mathbf{x}_i\in(\mathrm{span}\{\mathbf{v}\})^{\perp},i=2,\ldots,n
          排列(permutation)矩陣
          A 的每一行和每一列恰有一個元為 1,其餘元為 0A 是一正交矩陣。
          特徵值:\vert\lambda_i\vert=1
          特徵向量:\mathbf{x}_i^T\mathbf{x}_j=0
          組合(combinatorial)矩陣
          A=xI+y\mathbf{e}\mathbf{e}^T,其中 \mathbf{e}=(1,\ldots,1)^T
          特徵值:\lambda_1=x+ny\lambda_2=\cdots=\lambda_n=x
          特徵向量:\mathbf{x}_1=\mathbf{e},~\mathbf{x}_i\in(\mathrm{span}\{\mathbf{e}\})^{\perp},i=2,\ldots,n
          基本循環(circulant)矩陣
          例:A=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix}
          特徵值:\lambda_k=e^{-2\pi ik/n},~~k=0,1,\ldots,n-1
          特徵向量:\mathbf{x}_k=\begin{bmatrix} 1\\ \lambda_k\\ \vdots\\ \lambda_k^{n-1} \end{bmatrix},~~k=0,1,\ldots,n-1
          三對角(tridiagonal)矩陣
          例:A=\begin{bmatrix} b&a&0&0\\ c&b&a&0\\ 0&c&b&a\\ 0&0&c&b \end{bmatrix}
          特徵值:\lambda_i=b+2a\sqrt{c/a}\cos(i\pi/(n+1))
          特徵向量:\mathbf{x}_i=\begin{bmatrix} (c/a)^{1/2}\sin(i\pi/(n+1))\\ (c/a)^{2/2}\sin(2i\pi/(n+1))\\ \vdots\\ (c/a)^{n/2}\sin(ni\pi/(n+1))\\ \end{bmatrix}
          相伴(companion)矩陣
          例:C=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ -c_0&-c_1&-c_2&-c_3 \end{bmatrix}
          特徵值:\lambda_i 是多項式 p(t)=t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0 的根
          特徵向量:\mathbf{x}_i=\begin{bmatrix} 1\\ \lambda_i\\ \vdots\\ \lambda_i^{n-1} \end{bmatrix}
          馬可夫(Markov)矩陣(隨機矩陣)
          \sum_{i=1}^na_{ij}=1,~a_{ij}\ge 0
          特徵值:\vert\lambda_i\vert\le 1\lambda_{\max}=1
          特徵向量:對應特徵值 \lambda_{\max} 的特徵向量的各個元皆大於或等於零。

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