常見問題

[2008年]十月初,哈佛大學一項學生學習成效調查結果,在哈佛教授間投下了一顆震撼彈。哈佛大學伯克教學中心 (Derek Bok Center for Teaching and Learning) 針對二十門課的教授、四百位學生,分別調查老師與學生是否掌握課堂「核心概念」(big idea)?跌破教授眼鏡的是,只有不到三成的學生,抓到教授在那門課想傳達的核心概念。…… 哈佛發現,即便是聰明又會考試的全美資優生,也經常帶著偏見的知識前來學習。他們很會考試但不會問好問題,他們習慣被動學習,導致學習成效很差。在一個知識持續變動的時代,哈佛意識到,「如何教」比「教什麼」更重要;他們更提醒全世界各級老師與父母,在學習這條路上,角色必須調整,我們不再是單向傳遞知識的聖人 (sage),而是與學生一同探索學習的伙伴 (collaborator)。

───〈哈佛的難題〉,《校園天下

(更新修訂中,日後將予以分類)

線性代數有甚麼學習改進方法?
線性代數與微分方程都有特徵多項式,這兩門學科有甚麼關係?
線性變換與矩陣有甚麼關係?
矩陣乘法的定義從何而來?二矩陣相乘代表甚麼意義?
矩陣乘法有哪些計算方式?
矩陣代數有哪些運算規則與技巧?
我知道 AB 不一定等於 B A,但 \mathrm{rank}(AB) 是否等於 \mathrm{rank}(BA)
我知道 AB 不一定等於 B A,但它們是否擁有甚麼相同的性質?
ABn\times n 階矩陣,為甚麼 AB=I 可以推論 BA=I
線性代數的核心概念是甚麼?我能夠從一個 m\times n 階矩陣 A 獲得哪些重要的訊息?
向量空間有向量加法和純量乘法,但為甚麼沒有「向量乘法」(不是內積) 運算?
為甚麼線性組合 (向量加法與純量乘法) 是向量空間的基本運算?
為甚麼向量空間不稱作「向量集合」?子空間和向量空間又有甚麼關係?
線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的解有甚麼幾何意義?
為甚麼齊次方程 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 的解集合構成子空間 (零空間),但線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b}, \mathbf{b}\neq\mathbf{0} 的解集合卻不是子空間?
為甚麼線性方程的通解 (general solution) 可以表示成特解 (particular solution) 和齊次解 (homogeneous solution) 之和?特解是唯一存在嗎?
為甚麼不可逆矩陣又稱為奇異 (singular) 矩陣?
怎麼證明上三角矩陣的逆矩陣也是上三角矩陣?有沒有別於直接計算的證法?
我知道 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(A+B)^{-1} 有簡單的計算公式嗎?
3\times 3 階矩陣有逆矩陣公式嗎?
為甚麼多項式 p(t)=a_nt^n+\cdots+a_1t+a_0 也稱為向量?
線性映射與座標變換有甚麼不同?
為甚麼 \left[\!\!\begin{array}{cr}  a&-b\\  b&a  \end{array}\!\!\right] 可以用來表示複數 a+bi
為甚麼三維空間變換要用 4\times 4 階矩陣表示?
為甚麼矩陣秩代表矩陣的「真實尺寸」?
矩陣 AA^{\ast}A^{\ast}AAA^{\ast}\overline{A}A^T 有相同的矩陣秩嗎?
為甚麼基底必須由一組線性獨立向量組成?
為甚麼矩陣的行空間就是線性變換的值域?零空間就是線性變換的核?
基本列運算為甚麼不改變矩陣的行向量的線性組合關係?
為甚麼 A 的行空間包含 AB 的行空間?為甚麼 AB 的零空間包含 B 的零空間?有沒有較為直覺的解釋?
從計算結果來看,簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 似乎是唯一存在的,但如何證明呢?
矩陣 A 與其轉置矩陣 A^T 的關係有甚麼幾何解釋?
Jacobian 矩陣和 Hessian 矩陣有甚麼關係?
矩陣 A 與其伴隨矩陣 \mathrm{adj}A 有甚麼關係?\mathrm{adj}A 的伴隨矩陣又是甚麼?
行列式有甚麼直覺解釋?
行列式有甚麼幾何意義?
變換矩陣的行列式有甚麼物理意義?
二矩陣和的行列式 \det(A+B) 有計算公式嗎?
行列式 \det AA 的行向量之間存在甚麼不等關係嗎?
為甚麼要定義向量內積?甚麼是內積空間?
我知道 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 代表聯立方程組,但為甚麼會有特徵方程 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}
線性變換的特徵值與特徵向量有甚麼幾何 (物理) 意義?
為甚麼任一方陣必存在至少一特徵值?
為甚麼相異特徵值的特徵向量是線性獨立的?
為甚麼特徵值的幾何重數不大於代數重數?
如果不使用 Cayley-Hamilton 定理,如何確認對於 n\times n 階矩陣 A,必定存在 n 次多項式 p(t) 使得 p(A)=0
我知道正定矩陣的定義,但是否有較富直覺的解釋?
實對稱矩陣和 Hermitian 矩陣有哪些應用範疇?
哪些是我應該知道的重要矩陣分解式?
奇異值分解有甚麼幾何意義?

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