向量空間

如何計算矩陣秩 \mathrm{rank}A
如何證明行秩等於列秩?
如何證明 \mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^{\ast}A)=\mathrm{rank}A^{\ast}=\mathrm{rank}(AA^{\ast})=\mathrm{rank}\overline{A}=\mathrm{rank}A^T
如何證明 Sylvester 不等式和 Frobenius 不等式?
Am\times nBn\times pCp\times q
\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B-n\le\mathrm{rank}(AB)
\mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)\le\mathrm{rank}B+\mathrm{rank}(ABC)
如何證明 \mathrm{rank}(A+B)\le\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B
如何證明 \mathrm{rank}(AB)\le\mathrm{min}\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}
如何判斷一向量集是否為子空間?
如何利用基本列運算求得實矩陣 A 的四個基本子空間 C(A^T)N(A)C(A)N(A^T) 的基底?
如何判斷二矩陣是否擁有相同的行空間、列空間、零空間或左零空間?
給定向量空間 \mathcal{V} 的二子空間 \mathcal{U}\mathcal{W}, 如何計算子空間交集 \mathcal{U}\cap\mathcal{W} 與子空間和 \mathcal{U}+\mathcal{W}
給定向量空間 \mathcal{V} 的二子空間 \mathcal{U}\mathcal{W},如何證明容斥定理 \mathrm{dim}(\mathcal{U}\cap\mathcal{W})=\mathrm{dim}\mathcal{U}+\mathrm{dim}\mathcal{W}-\mathrm{dim}(\mathcal{U}+\mathcal{W})
如何計算沿著子空間 \mathcal{Y} 至子空間 \mathcal{X} 的投影?
如何得到列空間內的線性方程解,也就是長度最小的解向量(極小範數解)?
如何判定 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是否為線性獨立向量集?
如何由給定的向量集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 挑選出最多的線性獨立向量?
如何將一給定向量集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\} 擴展為向量空間 \mathcal{V} 的基底?
如何判斷線性獨立函數集?
例:\{e^x,xe^x,x^2e^x\}
給定二同尺寸矩陣 AB,如何計算零空間交集 N(A)\cap N(B) 和行空間交集 C(A)\cap C(B)
AB 可乘,如何計算 N(A)\cap C(B)
給定矩陣 A,如何求得一矩陣 P 使得 C(P)=N(A)?如何求得一矩陣 Q 使得 N(Q)=C(A)

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