特徵值與特徵向量

如何計算矩陣特徵值和特徵向量?有哪些有效的技巧?
如何計算四階甚至更高階矩陣的特徵多項式?
如何計算相伴矩陣的特徵多項式?
例:\begin{bmatrix}    0&0&0&-a_0\\    1&0&0&-a_1\\    0&1&0&-a_2\\    0&0&1&-a_3    \end{bmatrix}
如何計算循環矩陣的特徵值與特徵向量?
例:\begin{bmatrix}    1&2&3&4\\    2&3&4&1\\    3&4&1&2\\    4&1&2&3    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    0&1&0&0\\    0&0&1&0\\    0&0&0&1\\    1&0&0&0    \end{bmatrix}
如何計算分塊矩陣 \begin{bmatrix}  A&B\\  0&D  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&B\\  C&0  \end{bmatrix} 的特徵值?
如何運用分塊矩陣計算特徵值?
例:\begin{bmatrix}    2&0&2&-1\\    0&2&1&-2\\    2&1&2&0\\    -1&-2&0&2    \end{bmatrix}
如何計算基本矩陣 I+\mathbf{u}\mathbf{v}^T 的特徵值與特徵向量?
如何運用矩陣平方計算特徵值?
如何計算三對角矩陣的特徵值與特徵向量?
例:\begin{bmatrix}    b&a&0&0&0\\    c&b&a&0&0\\    0&c&b&a&0\\    0&0&c&b&a\\    0&0&0&c&b    \end{bmatrix}
如何計算共邊矩陣(bordered matrix)的特徵值?
例:\begin{bmatrix}    1&1&1&1\\    1&-1&0&0\\    1&0&-1&0\\    1&0&0&-1    \end{bmatrix}
如何從矩陣和複數的類比關係確定矩陣特徵值?
如何計算 Householder 矩陣 I-2\mathbf{u}\mathbf{u}^T\Vert\mathbf{u}\Vert=1,的特徵值與特徵向量?
如何推導不可逆矩陣的特徵多項式?
例:\begin{bmatrix}    0&-3&1&2\\    -2&1&-1&2\\    -2&1&-1&2\\    -2&-3&1&4    \end{bmatrix}
如何求伴隨矩陣 \mathrm{adj}A 的特徵值和特徵向量?
如何計算冪矩陣 A^k
如何計算矩陣指數 e^A
如何計算一般矩陣函數 f(A)?例如,\cos A
如何證明 Cayley-Hamilton 定理?
如何判斷二矩陣是否相似?
如何計算最小多項式?
如何運用最小多項式解矩陣方程?
如何判斷矩陣是否可被對角化?
AB=BAA,B 可對角化,如何證明 AB 有相同的特徵向量?
如何證明實對稱矩陣可正交對角化?
如何判斷矩陣是否可被正交對角化?
A 排列相似於 B,如何求排列矩陣 P 滿足 B=PAP^T

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