大學的線代課程

相較於已有二百年歷史的微積分與微分方程,線性代數成為大學基礎數學課程只不過是半個世紀前才發生的事。

公元1959年,Kemeny,Snell,Thompson 和 Mirkel 共同撰寫 Finite Mathematical Structures,是第一本為大學生出版的線性代數教科書,此書為往後的教材設立典範,並宣告了線性代數的兩個主題:向量空間和矩陣應用。

美國的大學於1960年代開始將線性代數列入低年級數學課程,並且依據1965年美國數學協會MAA底下的大學數學學程委員會CUPM所頒訂,以向量空間為主軸的課程大綱講授,課程的設計是替其他的進階數學課程作準備,譬如,為後續以向量空間方法研究多變量微積分提供必要的預先知識。

頒佈課程綱要二十年後,電腦硬體和軟體技術急速改良進步,大大提升線性代數於解決複雜問題的能力。線性代數的應用層面因此不斷往外跨越,如工程,計算機科學,作業研究,生物學,經濟學和統計學。產學界對於受過線性代數訓練的人才需求日益殷切,這時候,過於強調線性代數的抽象理論變成了妨礙此門學科傳播的絆腳石,改革課程內容之聲隨之而起。

公元1990年,由美國國家科學基金會 NSF 資助成立的線性代數課程研究小組建議線性代數課程內容應更符合實務領域的需要,且應著重矩陣代數及其應用。今天,在數學系外,專為「使用者」開授的線性代數多半專注於矩陣方法,但也仍包含基礎的向量空間理論。

以矩陣乘法的定義為例,過去架構於向量空間的教科書除非是組合兩個線性映射或討論相似性,幾乎不使用矩陣乘法。矩陣被視為計算工具而已,有關矩陣乘積 C=AB 僅止於以元為單位的定義,即高中數學所教的 c_{ij}=\sum_{k}a_{ik}b_{kj}

今日以矩陣導向的教科書則將重心放在矩陣的列與行,而非元,強調矩陣乘積 C 的每一行是由 AB 的對應行相乘而得,而 C 的每一列則是由 A 的對應列和 B 相乘得來。這項變革賦予矩陣乘法運算更為多元豐富的意涵,有助於理解向量空間結構及線性變換的運作。

沒有矩陣運算就沒有電腦遊戲機,以矩陣為導向的線性代數現在看來特別有其時代意義。矩陣對 e 世代的學生應該是再自然不過的物件,然而長久來線性代數卻經常被學生視為最難以掌握的學科之一。這裡面隱藏的原因很多,我將在另文詳細解釋何以線性代數這麼難學得好,還有學生要如何自我救贖脫離苦海。

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