線代發展簡史

與其他在大學裡講授的數學科目相比,線性代數算是一個年輕的分支。除了行列式外,線性代數的重大進展都發生於十九世紀。有趣的是,其中許多原創性的貢獻是來自一些非專業數學家。

很多人或許認為矩陣和線性代數的源起是為了求解線性方程組,教科書是這麼寫,老師也是這麼教。事實並非如此,具有陣列形式的線性方程組引領了數學家發展出行列式,而非矩陣。

公元1693年,微積分的共同發明人萊布尼茲 (Leibnitz) 就已經使用行列式,這比矩陣的出現足足早了約一百五十年。

公元1750年,克萊姆 (Cramer) 以行列式為基礎發明了一套解線性方程組的計算方法,它就是現在高中數學教的克萊姆法則。

大約公元1800年,偉大的數學家高斯 (Gauss) 為了解決天文測量及測地學帶來的最小平方問題,發展出今天以其命名的高斯消去法。不過,長久以來高斯消去法被視為屬於測地學的領域知識,而非數學。

消去法最早曾出現於大約公元前150年出版的中國古籍九章算術,我們目前普遍採用的「方程」一詞並非外來語,而是該書解方程組的章節標題。

高斯-約當法首次出現於公元1888年出版的一本測地學教科書中,作者為德國人 Wilhelm Jordan。過去許多線性代數課本誤以為高斯-約當法的約當是指著名法國數學家Camille Jordan,而非Wilhelm Jordan。直到1987年,這個錯誤才由 S. Athloen 和 R. McLaughlin 二人共同發表於美國數學月刊的一篇文章更正過來。

線性代數的主要理論工作多數由十九世紀中葉的英國人完成。公元1848年,西爾維斯特 (J. J. Sylvester) 為研究行列式問題而嘗試發展適當的代數語言,他首次使用矩陣 matrix 一詞並引入矩陣符號。這是個極其重大的里程碑,符號誕生之後,才可能形成觀念和發展理論。

特別一提的是,matrix 源於拉丁文「子宮」,這裡意指許多數字排成陣列形式,中文譯作矩陣是為了凸顯矩形陣式的直觀。基努李維飾演的駭客任務原來的英文片名就叫 The Matrix,電影片名直接點出人類其實是電腦魔王所建造子宮裡被奴隸操控的生物。

矩陣代數的開發由凱萊 (Cayley) 於公元1855年有關線性變換的研究起始,1858年凱萊給出了著名的凱萊-漢彌爾頓 (W. Hamilton) 定理:方陣為其特徵多項式的一根。他以符號A代表對應線性變換的矩陣,隨後以關係式 det(AB) = det(A) det(B) 將矩陣代數與行列式聯繫起來。凱萊了解矩陣理論的豐富性,在當時似乎已經察覺矩陣代數將逐漸使行列式理論失去光芒。

另一方面,純數學領域的研究則致力於發展向量代數,但是兩個向量的乘積一直未有自然而具普遍性的定義。公元1844年,德國數學家格拉斯曼 (H. Grassmann) 才於其著作裡首先提出了向量代數並介紹行-列乘積 (行向量與列向量乘積為一矩陣)。

十九世紀末,美國數學物理學家吉布斯 (J. W. Gibbs) 進一步發展向量及矩陣理論,並創立向量分析,矩陣和向量代數至此可以說完整成形。

矩陣的數值計算與分析則要遲至二次大戰後,隨電腦與計算機科學的進展方才出現。公元1947年,計算機科學的創始人之一,馮‧諾伊曼 (von Neumann) 定出分析計算誤差的條件數。今日矩陣運算普遍使用的 LU 分解是由英國數學家圖靈 (Turing) 於1948年提出來的。等到十年之後,QR 分解的用處才漸漸被世人所認識。

也許最具有實用價值的貢獻是英國數學家威爾金森 (J. H. Wilkinson) 於公元1960年證明了高斯消去法的數值計算穩定性,至今高斯消去法依然是已知最優的求解線性方程組方法。

線性代數雖然年輕,但它卻是應用層面最廣泛的數學分支之一。現代科技世界其實就是計算的世界,線性代數為問題建構分析模型,也為計算提供演算方法,所以線性代數可說是現代科技人才必備的基礎知識。

延伸閱讀:  ‘大學的線代課程’

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1 則回應給 線代發展簡史

  1. 大俠 說道:

    哈, i just learned how to insert “more" into the article

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