線性代數的原罪?

代數課很難,我讀得很生氣。…當我說生氣,我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚,我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟),我花在這個科目的多數時間裡,我的主要情緒惱火達到憤怒。…不知怎麼的,我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年,在我取得博士學位,聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後,我才真正開始明白這個科目到底在講甚麼。

───美國數學家哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 《我要做數學家》[1]

 
線性代數的前幾堂課談的是求解線性方程組和計算矩陣乘法,學生在高中時早已學過這些內容,一點困難也沒有。學期初時氣氛祥和,師生盡歡。

當我們介紹了子空間、生成、基底和線性獨立時,部分學生便覺得困惑,教室多了一絲淡淡的哀愁。

討論完線性變換和不同基底之間的座標變換,多半學生已掉入五里霧,眾人驚慌失措紛紛走避,至此課程正式進入失序狀態。

像是逃離不了的詛咒,這個情節年復一年重演。別無他法,身為教師的我們往往只能自嘆教學無方暗自飲泣。

 
「為什麼總是有這麼多學生學不好線性代數?」(請允許我暫時逃避責任不去反躬自省:為什麼老師總是教不好線性代數?) 我四處尋訪答案,最後收集了以下幾個廣為流傳的線性代數原罪:

一:線性代數太早教了。幾乎所有的大學都對一二年級學生講授線性代數,學生的「成熟度」尚未達到起碼的學習門檻。

二:線性代數的困難在於其觀念而非計算。縱使學生能夠應付多樣的演算法,多數人仍缺乏學習觀念的經驗。

三:線性代數介紹的觀念無法和學生已有的預先經驗與知識產生聯繫。譬如,很難將子空間的基底與學生具備的某種經驗知識作類比。

四:課程未能有效地說明並展示線性代數的應用。缺少具體應用,很難提升學習熱情。

 
這些理由看似言之鑿鑿但都屬皮相過於籠統,我不打算逐一反駁,只問:如果一二年級學生不能應付,那要何時才開始?難道大三學生就比大一學生更宜從事抽象思考活動?顯然沒有人能給個確切的答案。

 
那麼線性代數的原罪究竟為何?

實在隱忍不住,我必須要大聲說:「根本就沒有所謂『線性代數的原罪』這回事!」

線性代數不過恰巧將數學教學所發生的重大問題一塊兒呈現出來而已,線性代數其實是為我們現行的數學教學背負沈重的十字架。我從過去講授線性代數的經驗以及對國內數學教學的觀察,看見下面三個問題。

 
第一個是數學學習方式的問題。

長久以來我們的數學教育方式 (其他課目也差不了多少) 是先告訴學生有關「數學」的事,展示給他們看這個「數學」是如何運作的,下課前塞給學生一些問題,回家自己去練習。

這沒什麼不對,問題在於學校老師很快就屈服於學生 (以及家長) 的要求。學生希望老師像是會走路的參考書,把每一種題型都做一遍給大家看。模範老師就是要能多準備些類題供學生演練,讓學生早日達到「熟能生巧」的境界。

熟能生巧?這是多麼恐怖的事情啊!除了吃飯、睡覺、運動、打電玩,真的有必要對「數學」熟能生巧嗎?學生過度演習問題的後果是不知不覺地演化成「圖形識別機」。考試時遇到練習過的問題,不假思索就可以立刻寫出答案,但萬一不巧碰上沒見過的題目,只好自認倒楣當場掛掉。

 
結論:學生不能了解線性代數的觀念是因為他們過去從來就沒有機會自己去建立有關「數學」的觀念。大學裡的線性代數老師不會將每一種題型都做給學生看 (按目前的授課方式,這種做法也無法實現),於是學生最後只好求救補習班,重回以往熟悉的數學學習方式。

 
第二個是數學背景知識的問題。

我觀察出學生普遍缺乏一些重要的數學背景知識,而這些背景訓練對於學好線性代數是絕對必要的。例如,堅實的函數觀念是了解線性轉換前必備的能力,而三維空間的解析幾何是認識向量空間概念所必須要有的經驗。一般的大一學生已具有足夠的基礎,這個問題不大。

真正麻煩的問題是許多學生的邏輯思考訓練嚴重不足,特別是「存在量化」(如果存在一個…) 和「全稱量化」(對於每一個…)。不講別的,光是聽過這兩個名詞的學生就不多。

我說它是個大麻煩,是因為培養正確精準的邏輯思考是一件很不容易的事。東方教育向來偏重理解與記憶,而不重視思辯的訓練。老師頂多叫學生熟記一些教條,譬如,若 A 則 B ,因此非 B 則非 A。讓學生像背唐詩一樣朗誦這種條律,絲毫無助於提升其思考分析能力。

舉例來說,假定我們讓學生證明這個陳述:「如果 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 存在一個非平凡解 \mathbf{x}\neq\mathbf{0},那麼 A 的行向量 (column vector) 集合不能作為其行空間的基底。」對許多學生而言,這只不過又是個需要背誦的關係,極少人能認清它其實就是線性獨立的反面說法。

 
結論:如果學生不知道如何使用量化方式清楚地界定屬性,很難相信他們有辦法真正明瞭線性獨立和基底的意義,甚至弄清楚線性變換到底在做什麼。於是,線性代數總是被貼上過於抽象的標籤,變成許多學生永遠的痛。

 
第三個是數學教學法的問題。

今天為非數學系開授的線性代數課程多半由該系老師親自講授,主要原因是本系老師比較清楚本系學生未來需要使用哪些線性代數工具。被指派任課的教師多數是因為他們具有高水平的數學涵養,因此我們不需懷疑教師是否適任這件事。

每個線性代數教師其實都有自己的專業領域,他們當然也不是只教線性代數一門課而已。問題就出在這裡,教師一般不會特別為線性代數準備一套專屬的教學法,教線性代數就像教他們自己的專業課目一樣,將教學目標單純的訂為「在一個學期中,盡力將學生應該知道的所有東西通通塞給他們。」

學生被迫勉強「記住 (memorize)」,而非經過消化咀嚼後自然而然「記得 (remember)」課程內容。「揠苗助長」不是荒唐的古代寓言,它根本就發生在現今的大學課堂裡。

我絕不是鼓勵放牛吃草,叫學生像蘇格拉底一樣坐在公園的長椅上沈思。我要說的是學生需要時間消化這些素材,教師也應該盡力提供幫助消化的教學法以及教材。

 
結論:我們的數學教學法幾乎不給學生機會讓他們自己養成觀念,而偏偏線性代數又是建立於幾個重要的概念之上。學習消化不良的結果是老師 (很不幸地,包括我自己) 假裝在上課,學生假裝在聽課,大家一起在教室裡演一齣既不叫好也不叫座的「線代大戲」。

 
最後是我對上述三個問題的初步回應。

第一個問題:無解。

第二個問題:很難有解。

第三個問題:有解。

 
我認為最為有效而且實際的方法是通過解決問題來學會線性代數。首先要設計必須精確引用基本觀念的思考問題,在解決問題的過程中學生可以經由彼此的討論和與教師的互動,激發概念間的不一致與矛盾,從而釐清概念的邊際和具體功能,最終建構自己的知識系統。線性代數教學法很難以三言兩語講清楚,我將於另文再詳細討論。

 
註解
[1] 線性代數是美國數學教授哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 的專長,他在26歲時出版了經典名著《有限維向量空間》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈爾莫斯的回憶錄 I want to be a mathematician, 1985, pp 40-41, 寫道:“The algebra course was hard and I worked at it furiously;…When I say furiously, I mean furiously. Brahana didn’t know how to be clear, the text was Bôcher’s book (which I thought was mess), and my dominant emotion during much of the time that I spent on the subject was exasperation reaching to anger….somehow I survive my introduction to linear algebra. I didn’t really begin to understand what the subject was about till four or five years later, after I got my Ph.D. and heard von Neumann talk about operator theory.”

延伸閱讀:
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20 則回應給 線性代數的原罪?

  1. foremap 說道:

    大俠所言即是!!

  2. gk0215 說道:

    大俠所言即是!!

  3. 大俠 說道:

    別打屁了…

    可載入方程式編輯器時,請通知我

    謝謝

  4. 路人甲 說道:

    佛心來的~~

  5. gogosister 說道:

    我的第一個祕密跟老師的差不多,
    唯一一個不同點就是那老師的名字我還記得 XD

    那老師的絕招就是 版書寫了好幾個黑板之後
    ,大概是證明吧,還是解題我也忘了,
    才哇啦哇啦的大叫說 喔 阿 抱歉 同學 ~ 我這邊好像解(證)錯了,
    就整個黑板一直擦掉重新來過,偏偏我又是很認真的小孩
    每次都會用原子筆做美美的筆記(其實也沒聽懂老師在上什麼)
    ,就很Orz,後來又被這老師搞了幾次之後我再也不用"原子筆做筆記" XD

    之後期中期末考試都用背的,因為不懂所以背證明,
    很痛苦,跟老師講的一樣一堆符號,但是還是要硬背 XD
    所以我的線代就是硬背背過的 很可憐吶

    那老師也是美國回來的 XD 不過教的真的很爛!唯一好處就是"好過" XD

  6. 大俠 說道:

    許多朋友和學生都以為我喜愛數學, 錯了.

    我們那個時代小學數學稱作"算術"(計算的技術), 應用題很難我全不會做. 經常人在教室, 眼睛望著外頭飄動的樹葉, 心裡想著下課玩耍的事.
    國中老師很嚴, 用體罰來激發學生的數學天賦, 他們的任務是讓我們表皮長厚, 順利升學.
    高中三年好多了, 老師常丟一二個問題在黑板上, 大家一起思考, 發呆這事容易, 漸漸不再那麼討厭數學.
    大學? 就別提了.

    現在, 數學是我工作的一部份, 既不十分討厭, 也不非常喜歡.

  7. gogosister 說道:

    老師你好厲害喔 怎麼考上台大電機的阿 可以請教老師的讀書方法嗎^^?

    另外我比較好奇的是"通常"教授都很忙,
    老師怎麼找得出時間來弄這個部落格,做這些吃力不討好的工作
    因為我想如果有人要找個學校教授來弄這些丁丁咚咚的
    (教授心裡應該會os:忙都忙死了還有時間搞這個?)

    另外我覺得老師您必較像仙人,仙風道骨的感覺,不像大俠 XD
    大俠表示對一些世俗的東西還有一些牽絆,所以才會路見不平拔刀相助
    個人感覺啦^^|||

  8. gogosister 說道:

    看來一個好的老師或許能改變一個學生的一生也不一定,
    從興趣著手學習吧,叫我坐在網路前面8hr我就很有精神,連午休都不用
    但是坐在書桌前面念個書中午還沒到就想要午休了 唉唉…

  9. gogosister 說道:

    PS.看批踢踢有人看老師的電子書上交大電信研究所哩^^,老師應該很高興吧^^

  10. ccjou 說道:

    讀書方法? 這個問題很尖銳, 我得花些時間想想.
    大學老師很忙? 是的, 事情還真不少.
    既然忙, 幹嘛搞個blog? 改天再詳細解釋 (說實話這名稱也不是我想出來的)
    為何暱稱大俠? 以前的學生取的 (可能還有些我不知道的綽號, 譬如殺手, 大刀, 鬼面愁…)
    有人看電子書+上交大研究所? 相關未必反應因果 (但有因果肯定會相關)

    這樣回答可以吧?

  11. fish 說道:

    對國內數學教學所看見的三個問題,見解真是精闢阿

  12. XOO 說道:

    對國內數學教學所看見的三個問題

    這些問題不全是台灣數學教學才有,而即便將抽象思考的訓練擺在大學以前,也不見得會比較好。就像美國的 New Math 很大一部份受到法國 Nicolas Bourbaki 學派影響,教授各種抽象數學,包括抽象代數,有些甚至將公設化集合論教給中學生,實際成果並沒有比較好。

  13. ccjou 說道:

    批評 New Math 最力的人當是 Morris Kline,在1960年代他說:There is a student problem, but there are also three other factors which are responsible for the present state of mathematical learning, namely, the curricula, the texts, and the teachers. 這些問題至今依然存在且爭論不休,原因是訂定數學教程與執行者(老師)對數學的學習目的和價值有不同的見解。Kline 認為數學應該是 a part of man’s efforts to understand and master his world。身為非數學專業出身又成天想著用數學解決問題的人(包含我自己),或許較能接受這種學以致用的論點。但縱使如此,不論我們如何包裝隱藏,數學的本質依然不變,抽象的觀念和公設化的體系永遠不可能被移除。從這個角度,線性代數真有原罪也說不定。

  14. 等式的舞姿 說道:

    我是個國中補習班的小導師,半夜的2點多偶然看到您的部落格…(正在尋找行列式可以求算多邊形面積的原因)

    看了您的文章,雖然我沒有學過 子空間、擴張、基底和線性獨立等章節,數理的資質也平庸,但是…目前在輔導學生數學時,真的發現同學們只為了追求分數,連家長也同意 “熟能生巧" 這種作法! 您的文章我真的很有感啊!實在讓我很有共嗚。

    我總覺得這些熟能生巧,反而是讓他們失去培養獨立思考、推敲、理解抽象概念的能力。

    目前多數的孩子,絲毫不覺得數學有其可愛之處,真希望我們的教育制度能改變 (雖然這可能是一句嘴砲),願我們的學子們,能有一天發現數學裡等式的舞姿。

    • ccjou 說道:

      教育制度是那些會讀書考試的人根據自己的想像而制訂的,要改變現狀恐怕不容易。但教材與教法確實還有很大的改進空間,這也是我架設這個網站的目的之一。

  15. Hank 說道:

    我是從學習Adaptive Filter的過程中,回頭來看翻閱複習線性代數,此刻能比當年大二的我更清楚地發現線性代數的奧妙之處,了解線性代數並不是無中生有的數學,而是早年科學家用來解決當初所遭遇的問題。感謝老師如此無私的分享,真是一位偉大的教育教呀。

    • ccjou 說道:

      有些時候我覺得線性代數有一個隱藏的目的。已故CMU教授Randy Pausch在The Last Lecture說:人生路上有阻擋你夢想的磚牆,那是有原因的。這些磚牆讓我們來證明我們究竟有多麼想要得到我們所想要的。(Brick walls are there for a reason: they let us prove how badly we want things.) 線性代數就像是一道磚牆。

  16. Xiaoliu WU Charles 說道:

    偶尔看到这篇文章~写得很好。我的老师也说得很清楚,课程一开始讲matrix algebra的时候你们会觉得很轻松,但是不要被这个表象欺骗了。个人觉得到Vector Space和Linear dependency还有transition这里会是一道坎。如果能很好的掌握只一块知识,那后面的linear transformation和eigenvalue应该会相对轻松。如博主所说“線性代數介紹的觀念無法和學生已有的預先經驗及知識產生聯繫”。这是线性代数和calculus很不一样的地方。线性代数很抽象,都是一个概念然后在此之上建立理论。知识前后关联非常密切。很关键的一点是不能靠记忆。记忆是没有意义的,线性代数的重点是证明。学习的时候一定要把概念先理解透彻,再研究概念和定理之间的关系。是不是地总结现有知识,理清sequence。有两本书可以推荐,一本是Larson的Elementary Linear Algebra还有一本是Grossman的Elementary Linear Algebra。两本书的话题顺序基本一致。Larson的书比较易懂,但是proof就很水了。Grossman的书有大量Proof的例子,但是一遍看会很难懂。两本书互相一种极好的补充。至于MIT open courseware里面Strang老先生的Introduction to Linear algebra,个人觉得不是太有帮助,讲得过浅了,证明太简单或者干脆没有。

    • Xiaoliu WU Charles 說道:

      有些错别字,见谅O(∩_∩)O哈哈~

    • ccjou 說道:

      的確,Strang 的課本和以往的教科書很不一樣。我的一位同事用了一次就放棄了,他說這書太難教,沒什麼証明要怎麼上課?但這本書有一個特點:很多需要思考及想像力的習題。說不定這些才是學生應該從線性代數學到的東西。

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