矩陣乘法的現代觀點 (二)

以列作為計算單元定義 AB

這個定義與以行作為計算單元的定義有類比的形式。考慮

AB=\begin{bmatrix}  A\mathbf{b}_1&\cdots&A\mathbf{b}_p  \end{bmatrix}

對上式取轉置,可得

(AB)^T=\begin{bmatrix}  A\mathbf{b}_1&\cdots&A\mathbf{b}_p  \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1^TA^T\\  \vdots\\  \mathbf{b}_p^TA^T  \end{bmatrix}

因為 (AB)^T=B^TA^T

B^TA^T=\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1^TA^T\\  \vdots\\  \mathbf{b}_p^TA^T  \end{bmatrix}

將上式的 B^TA^T 分別以 AB 替代,即得到以列作為計算單元的矩陣乘法。我們定義 AB 的第 i 列等於 B 各列之線性組合,\mathrm{row}_i(A) 的對應元即為組合權重:

\mathrm{row}_{i}(AB)= \mathrm{row}_{i}(A)\cdot\mathit{B}

或著將 AB 完整的寫出:

AB=\begin{bmatrix}  \mathrm{row}_{1}(A)\\  \vdots \\    \mathrm{row}_{m}(A)    \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}    \mathrm{row}_{1}(A)\cdot\mathit{B}\\    \vdots \\    \mathrm{row}_{m}(A)\cdot\mathit{B}\end{bmatrix}

因為今天多數的線性代數課本所指稱的向量都是行向量,我們特別以記號 \mathrm{row} 表示矩陣的列。這個計算方式的應用較少,主要應用在解釋基本矩陣 A 如何對 B 執行列運算 (見“特殊矩陣 (10):基本矩陣”)。

 
以行列展開計算 AB

許多讀者可能不明瞭二矩陣乘積可表示成數個矩陣之和。將 A 以行向量表示,B 以列向量表示,有以下結果:

\mathit{AB}=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_{1} & \cdots &\mathbf{a}_{n}    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    \mathrm{row}_{1}(B)\\    \vdots \\    \mathrm{row}_{n}(B)    \end{bmatrix}=\mathbf{a}_{1}\mathrm{row}_{1}(B)+\cdots+\mathbf{a}_{n}\mathrm{row}_{n}(B)

此計算式又稱為「行列法則」,注意這個展開方式和以元為計算單位的內積運算有何差異。因為 AB(i,j) 元即為每個展開矩陣 \mathbf{a}_k~\mathrm{row}_k(B)(i,j) 元 (即 a_{ik}b_{kj}) 的和,故可證明上式的正確性。以行列展開計算的重要用途在對稱矩陣的譜分解。任何實對稱矩陣 A 可寫為 A=UDU^TD 為對角矩陣,D=\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n),所以

\begin{aligned}  A&=UDU^{T}\\  &=\begin{bmatrix}  \mathbf{u}_1&\cdots&\mathbf{u}_n  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  d_1&~&~\\  ~&\ddots&~\\  ~&~&d_n  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{u}_1^T\\  \vdots\\  \mathbf{u}_n^T  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  d_{1}\mathbf{u}_{1} & \cdots &d_{n}\mathbf{u}_{n}    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    \mathbf{u}^{T}_{1}\\    \vdots \\    \mathbf{u}^{T}_{n}    \end{bmatrix}\\  &=d_{1}\mathbf{u}_{1}\mathbf{u}^{T}_{1}+\cdots+d_{n}\mathbf{u}_{n}\mathbf{u}^{T}_{n}.\end{aligned}

 
總結來說,矩陣乘法共有四種計算方式。初學者需經過不斷嘗試錯誤才能逐漸體會各計算方式的使用時機,要能達到隨手拈來,存乎一心的境界唯有多加練習一途。

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2 則回應給 矩陣乘法的現代觀點 (二)

  1. suehang 說:

    苦于认为矩阵乘法是怪物的大陆学生有救了!!

    • ccjou 說:

      不會這麼嚴重吧?我的認知是訪問這個網站的許多大陸學生都非常優秀,他們常提出一些深入的問題與想法。

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