矩陣乘法的現代觀點 (三)

以分塊作為計算單元定義 AB

假設矩陣 Am\times n 階,Bn\times p 階,則 AB 可以相乘。同樣道理,將 AB 以分塊矩陣形式表示,例如,A3\times 2 分塊,B2\times 2 分塊:

A=\begin{bmatrix}    A_{11}&A_{12}\\    A_{21}&A_{22}\\    A_{31}&A_{32}\end{bmatrix},~B=\begin{bmatrix}    B_{11}&B_{12}\\    B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}

我們可以運用分塊矩陣乘法計算矩陣乘積 AB。分塊矩陣乘法一如傳統以元為計算單元的運算方式,將 A 的列分塊和 B 的行分塊以列行法則相乘,AB3\times 2 分塊,如下:

AB=\begin{bmatrix}    A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\    A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}\\    A_{31}B_{11}+A_{32}B_{21}&A_{31}B_{12}+A_{32}B_{22}\end{bmatrix}

注意這個乘法方式等於也限制了 AB 其分塊的尺寸,譬如,A_{12} 的行數與 B_{21} 的列數相等。

 
事實上,分塊矩陣乘法也可以用來解釋前述的幾種矩陣乘積運算方式。若矩陣的分塊退化為元,那麼分塊矩陣乘積也就是以元為計算單位的列行法則。若 B 以其行向量作為分塊,就是視行為計算單位的乘法方式:

AB=A\begin{bmatrix}    B_{1} & \cdots &B_{p}    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    AB_{1} & \cdots &AB_{p}    \end{bmatrix}

A 以其列向量作為分塊,此即以列為計算單位的乘法:

AB=\begin{bmatrix}    A_{1}\\    \vdots \\    A_{m}    \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}    A_{1}B\\    \vdots \\    A_{m}B\end{bmatrix}

A 以其行向量作為分塊,B 以其列向量作為分塊,AB 乘積就如同以行列展開的乘法方式:

\begin{aligned}  \mathit{AB}&=\begin{bmatrix}    \mathit{A}_{1} & \cdots &\mathit{A}_{n}    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    \mathit{B}_{1}\\    \vdots \\    \mathit{B}_{n}    \end{bmatrix}\\  &=\mathit{A}_{1}\mathit{B}_{1}+\cdots+\mathit{A}_{n}\mathit{B}_{n}\end{aligned}

 
我們討論的各種矩陣乘法運算都是等價的,適當選擇矩陣的分塊方式便與前述的四種基本乘法運算同義。分塊矩陣乘法較少用於數值計算 (除非問題具有特殊的形式,如許多零元聚集於一處),其主要用途為提供理論發展時所需要的運算處理機制。

(全文完)

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5 則回應給 矩陣乘法的現代觀點 (三)

  1. foremap 說:

    文章標題為什麼是"933″~
    還有老師打數學公式怎麼這麼快XD~

  2. ccjou 說:

    年輕人, 你要多練習…

    馬友友有一次在紐約走出旅館後就迷路了,便問迎面走來的老人:"請問您我要如何去林肯中心演奏?"

    路人看看這個身上背著大提琴的年輕人,道:"年輕人, 你要多練習…"

  3. foremap 說:

    好…我會試試xd

  4. momozaza 說:

    真有趣XD

  5. lisp21 說:

    馬友友有一次在紐約走出旅館後就迷路了,便問迎面走來的老人:"請問您我要如何去林肯中心演奏?"

    路人看看這個身上背著大提琴的年輕人,道:"年輕人, 你要多練習…"

    ==
    看来Yoyo马成功太早了。

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