AB 和 BA 有何關係?

Posted on 03/14/2009 by ccjou

本文的閱讀等級：初級

令 $A$ 為 $m\times n$ 階矩陣， $B$ 為 $n\times m$ 階矩陣。在不失一般性的原則下，假設 $m\ge n$ 。學過矩陣代數的學生都瞭解 $AB$ 和 $BA$ 的尺寸未必相同，遑論兩矩陣相等，這是矩陣代數與一般代數的最大不同之處，矩陣乘法不總是滿足交換律。然而， $AB$ 和 $BA$ 彼此間是否存在某種共同性質或關係呢？多數人可能不知道其實 $AB$ 和 $BA$ 有相同的非零特徵值 (包含相重數)，我們不妨花個幾分鐘探究這個事實。

故事從一個很奇怪的地方起頭，話說兩個 $(m+n)\times(m+n)$ 分塊矩陣誕生，如下：

$\begin{bmatrix} AB&0\\ B&0\end{bmatrix},~~\begin{bmatrix} 0&0\\ B&BA\end{bmatrix}$ ，

其中 $\begin{bmatrix} AB&0\\ B&0\end{bmatrix}$ 是分塊下三角矩陣，其特徵值為主對角分塊 $AB$ 和 $n\times n$ 階零矩陣的特徵值。同樣道理， $\begin{bmatrix} 0&0\\ B&BA\end{bmatrix}$ 的特徵值為 $BA$ 和 $m\times m$ 階零矩陣的特徵值。為何 $B$ 同時出現於左下分塊？你一時可能看不出原因，但馬上我們就會發現這是一個相當精巧的設計。

下一個步驟是設法聯繫分塊矩陣間的關係。歷經多次嘗試錯誤之後 (抱歉，我揣測不出當初創作人的靈感是如何湧現出來)，發現兩個分塊矩陣有如下關係：

$\begin{bmatrix} AB&0\\ B&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_{m}&A\\ 0&I_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_{m}&A\\ 0&I_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0\\ B&BA\end{bmatrix}$ 。

請你自行乘開確認等號左右兩邊相等。注意分塊上三角矩陣 $\begin{bmatrix} I_{m}&A\\ 0&I_{n}\end{bmatrix}$ 其主對角分塊都是單位矩陣，因此它是可逆的，這表明先前設計的兩個分塊矩陣具有相似性。對於同階方陣 $P$ 和 $Q$ ，我們稱 $P$ 相似於 $Q$ ，若存在可逆矩陣 $S$ 使得 $PS=SQ$ ，即 $P=SQS^{-1}$ 。兩個相似矩陣有一個重要的不變量：它們有相同的特徵值 (包含相重數)。這迫使 $m$ 階方陣 $AB$ 和 $n$ 階方陣 $BA$ 的非零特徵值必須完全相同，所以 $AB$ 還必須比 $BA$ 多出來 $m-n$ 個零特徵值。

下面給出一個此性質的應用：若 $A$ 和 $B$ 同為 $n\times n$ 階矩陣，則 $2n$ 階方陣 $\begin{bmatrix} A^2&AB\\ BA&B^2 \end{bmatrix}$ 和 $n$ 階方陣 $A^2+B^2$ 有相同的非零特徵值，這是因為

$\begin{bmatrix} A^2&AB\\ BA&B^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A&B \end{bmatrix}$ ，

$A^2+B^2=\begin{bmatrix} A&B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}$ ，

推知 $\begin{bmatrix} A^2&AB\\ BA&B^2 \end{bmatrix}$ 包含至少 $n$ 個零特徵值，故不為可逆矩陣。不止得到答案，我們還認識了經由設計分塊矩陣乘法來聯繫標的矩陣這種不常見於基礎課程的運算處理技巧。

附註：
若 $A$ 和 $B$ 是同階方陣，則 $AB$ 和 $BA$ 有相同的特徵多項式，但未必有相同的最小多項式。例如， $A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ 和 $B=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}$ 。然而， $AB=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}$ 的最小多項式為 $t^2$ ，但 $BA=\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ 的最小多項式為 $t$ 。換句話說，對應特徵值 $0$ ， $AB$ 和 $BA$ 有不同的 Jordan 形式，即 $AB$ 和 $BA$ 不相似。

本文參考：
C. R. Johnson and E. Schreiner, The Relationship between AB and BA, American Mathematical Monthly, pp 578-582, 1996.

11 Responses to AB 和 BA 有何關係?

GSX says:

09/12/2010 at 12:48 am

這方法蠻漂亮的!!
不知道能不能從這個方式再進一步看出當A, B皆為n-by-n時，AB與BA eigenvalue的幾何重數、partial multiplicity的關係?

Reply
ccjou says:

09/12/2010 at 8:55 pm

我不清楚 partial multiplicity 為何？

這個證明方法建立在行列式上，因此無法回答有關幾何重數的問題。不過，就我所知，AB 和 BA 除了有相同的特徵值外，好像沒有其他相同的性質。

Reply
GSX says:

09/12/2010 at 10:07 pm

如果A,B都是n by n那
AB和BA不見得similar
也就是他們的Jordan form不見得會一樣
差別就可能在於0這個eigenvalue的幾何重數(沒有0這個eigenvalue則顯然similar)

但其他非0的eigenvalue則代數重數幾何重數及”partial multiplicity”都一樣。

i.e.,有相同特徵值不見得similar
有相同特徵方程式(代數重數)也不見得similar
甚至所有特徵值的代數重數幾何重數都一樣也不見得similar

所以我講的partial multiplicity 指的是Jordan form的細節

Ex:
5 1
5 1
5
5 1
5
5

這樣的矩陣
5這個eigenvalue
代數重數:6
幾何重數:3
partial multiplicity: 2,2,1

所以其實就是把Jordan form specify出來而已

我是看雖然AB和BA不見得similar
不過
[ AB 0 ] 及 [ 0 0 ]
[ B 0 ] [ B BA ]
倒是一定會similar

不知道有沒有機會從這裡討論到AB及BA特徵值的其他重數
(因為只要similar，所有重數都會一樣)

Reply
GSX says:

09/12/2010 at 10:10 pm

抱歉他自動去掉空白了，那個矩陣打的是
5 1 0 0 0 0
0 5 0 0 0 0
0 0 5 1 0 0
0 0 0 5 1 0
0 0 0 0 5 o
0 0 0 0 0 5

Reply
ccjou says:

09/13/2010 at 8:10 am

當 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 階方陣時，’分塊矩陣的解題案例’
解釋了兩者有相同的特徵多項式。這是一般情況。

但如果 $A$ ， $B$ 至少有一個是可逆矩陣，則 $AB$ 相似於 $BA$ 。假設 $A^{-1}$ 存在， $AB=A(BA)A^{-1}$ 。

Reply
Anonymous says:

09/13/2010 at 11:39 am

嗯，他們有相同的特徵方程式，即代數重數皆相同。
但幾何重數就不一定相同了
不過有個結論是就算AB和BA是singular，除了0這個eigenvalue所對應的Jordan Block不見得一樣，其餘的Jordan Block都會長的一模一樣，我想問的是這個。

(沒有0這個eigenvalue則當然Jordan form就會一樣，如您寫的similar。)

Reply
ccjou says:

09/13/2010 at 1:17 pm

你說的對。
$\begin{bmatrix} AB&0\\ B&0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 0&0\\ B&BA \end{bmatrix}$
有相同的 Jordan form，雖然 $AB$ 未必相似於 $BA$ ，但 $AB$ 和 $BA$ 的可逆 Jordan block(也就是對應非零特徵值的 Jordan block)確實是相同的。

如果你願意，能否在交流園地寫下此命題的證明？先謝謝了。

Reply
GSX says:

09/13/2010 at 3:49 pm

證明說不定(?)有點長，我把相關的post在交流園地的心得分享區了。

Reply
ccjou says:

09/13/2010 at 6:42 pm

我找出參考文獻
C. R. Johnson 和 E. Schreiner 合寫的 The Relationship between AB and BA, 裡面有關於 Jordan block 的證明。透過校園網路應該可以讀取完整的 pdf 檔
http://www.jstor.org/pss/2974670

Reply
GSX says:

09/13/2010 at 7:45 pm

這篇好像比較好懂
而且真的是用分塊的方式

所以如果只是要證明非0 eigenvalue的Jordan Block一樣

是說

AB 0
B 0

這個矩陣的非0Jordan Block與 AB 的一樣

還有
0 0
B BA

非0Jordan Block與 BA 的一樣

再用那兩個分塊矩陣的Similarity就可以了嗎?

但我要怎麼說明
AB 0
B 0
的非0Jordan Block與 AB 的是一樣的呢?

Reply
Alanear says:

10/27/2020 at 7:05 pm

用特征值，特征向量来理解好像显然，ABa=xa=|AB|a=|BA|a=BAa=ya；x=y

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