## 兩矩陣和的逆矩陣

$(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}$

$(A-UD^{-1}V)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$

$(A+b\mathbf{u}\mathbf{v}^{T})^{-1}=A^{-1}-b(1+b\mathbf{v}^{T}A^{-1}\mathbf{u})^{-1}A^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^{T}A^{-1}$

(1) 若 $A$ 是可逆的，求 $W$$X$$Y$$Z$ 使得

$\left[\!\! \begin{array}{cc} W & 0 \\ X & I_n\end{array} \!\!\right]\! \left[\!\! \begin{array}{cc} A & U \\ V & D\end{array} \!\!\right]= \left[\!\! \begin{array}{cc} I_m & Y \\ 0 & Z\end{array} \!\!\right]$

\begin{aligned} WA&=I_m\\ XA+I_nV&=0\\ WU&=Y\\ XU+I_nD&=Z. \end{aligned}

\begin{aligned} W&=A^{-1}\\ X&=-VA^{-1}\\ Y&=A^{-1}U\\ Z&=D-VA^{-1}U. \end{aligned}

(2) 若 $Z$ 是可逆的，求 $\left[\!\! \begin{array}{cc} I_m & Y \\ 0 & Z\end{array} \!\!\right]$ 的逆矩陣。

$\left[\! \begin{array}{cc} I_m & Y \\ 0 & Z\end{array} \!\right]\! \left[\! \begin{array}{cc} I_m & P \\ 0 & Q\end{array} \!\right]= \left[\! \begin{array}{cc} I_m & 0 \\ 0 & I_n\end{array} \!\right]$

\begin{aligned} I_mP+YQ&=0\\ ZQ&=I_n. \end{aligned}

$\left[\! \begin{array}{cc} I_m & Y \\ 0 & Z\end{array} \!\right]^{-1}= \left[\! \begin{array}{cc} I_m & -YZ^{-1} \\ 0 & Z^{-1}\end{array} \!\right]$

(3) 利用 (1) 與 (2) 的結果計算 $\left[\! \begin{array}{cc} A & U \\ V & D \end{array}\!\right]$ 的逆矩陣。為使逆矩陣存在，你必須做哪些假設？

$\left[\! \begin{array}{cc} A^{-1} & 0 \\ -VA^{-1} & I_n\end{array} \!\right]\! \left[\! \begin{array}{cc} A & U \\ V & D\end{array} \!\right]= \left[\! \begin{array}{cc} I_m & A^{-1}U \\ 0 & D-VA^{-1}U\end{array} \!\right]$

\begin{aligned} \left[\!\begin{array}{cc} A & U \\ V & D \end{array}\!\right]^{-1}\! &=\!\left[\!\begin{array}{cc} I_m & A^{-1}U \\ 0 & D-VA^{-1}U \end{array}\!\right]^{-1} \left[\!\begin{array}{cc} A^{-1} & 0 \\ -VA^{-1} & I_n \end{array}\!\right]\\ &=\!\left[\! \begin{array}{cc} I_m & -A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1} \\ 0 & (D-VA^{-1}U)^{-1} \end{array}\!\right]\! \left[\! \begin{array}{cc} A^{-1} & 0 \\ -VA^{-1} & I_n \end{array}\!\right] \\ &=\!\left[\! \begin{array}{cc} A^{-1}+A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} & -A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1} \\ -(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} & (D-VA^{-1}U)^{-1} \end{array} \!\right]. \end{aligned}

(4) 考慮另一種推導分塊矩陣的逆矩陣方法。設

$\left[\! \begin{array}{cc} I_m & X^\prime \\ 0 & W^\prime\end{array} \!\right]\! \left[\! \begin{array}{cc} A & U \\ V & D\end{array} \!\right]= \left[\! \begin{array}{cc} Z^\prime & 0 \\ Y^\prime & I_n\end{array} \!\right]$

$D$ 是可逆矩陣，重複前題的步驟可得另一個分塊逆矩陣，如下:

$\left[\!\begin{array}{cc} A & U \\ V & D \end{array}\!\right]^{-1}\!=\! \left[\!\begin{array}{cc} (A-UD^{-1}V)^{-1} & -(A-UD^{-1}V)^{-1}UD^{-1}\\ -D^{-1}V(A-UD^{-1}V)^{-1} & D^{-1}V(A-UD^{-1}V)^{-1}UD^{-1}+D^{-1} \\ \end{array}\!\right]$

$(A-UD^{-1}V)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U(D-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$

(5) 根據 Woodbury 矩陣恆等式， 推導 $(A+\mbox{\bf u}\mbox{\bf v}^T)^{-1}$

$D=-1$$U=\mbox{\bf u}$$V=\mbox{\bf v}^T$，代入 Woodbury 等式，可得

\begin{aligned} (A+\mbox{\bf u}\mbox{\bf v}^T)^{-1} &=A^{-1}+A^{-1}\mbox{\bf u}(-1-\mbox{\bf v}^TA^{-1} \mbox{\bf u})^{-1}\mbox{\bf v}^TA^{-1}\\ &=A^{-1}-\frac{A^{-1}\mbox{\bf u}\mbox{\bf v}^TA^{-1}} {1+\mbox{\bf v}^TA^{-1}\mbox{\bf u}}. \end{aligned}

(6) 根據 Woodbury 矩陣恆等式，證明

$(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}$

$B=-D^{-1}$，亦即 $D=-B^{-1}$，再代入 Woodbury 等式，便有

$(A+UBV)^{-1} =A^{-1}-A^{-1}U(B^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$

$(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}$

H. V. Henderson and S. R. Searle, On deriving the inverse of a sum of matrices, SIAM Review, Vol 23, No 1, 53-60, 1981.

### 10 Responses to 兩矩陣和的逆矩陣

1. 劉毛毛 說道：

請問老師一個問題
Woodbury矩陣恆等式的變型
(A+buv’)^(-1)=A^(-1)-b(1+bv’A^(-1)u)^(-1)A^(-1)uv’A^(-1)
其中v’為v的轉置矩陣
(這個式子是從上面數來第四個式子)
請問這個式子是如何推導出來的?
或者除了
“其中uv’為秩─1 (rank-1) 矩陣，因為 rank(uv’)=1″
這個條件之外還有其他假設
還是說rank(uv’)=1可以有特殊變換

我從上面數來第三個式子似乎無法變成第四個式子
由(I+PQ)^(-1)P=P(I+QP)^(-1)
轉換後會變成
(A+buv’)^(-1)=A^(-1)-b(1+bA^(-1)uv’)^(-1)A^(-1)uv’A^(-1)
後面結果會有不一樣
苦惱了很久
謝謝

• ccjou 說道：

「因為 $\mathrm{rank}(uv^T)=1$」是一句多餘的話(我已將它刪除)。從 $A+UBV$ 的逆矩陣公式可得 $A+b\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 的逆矩陣公式。設 $U=\mathbf{u}$$B=b$$V=\mathbf{v}^T$ 即可，此公式同時指出 $1+b\mathbf{v}^TA^{-1}\mathbf{u}$ 必須不等於0。我不清楚你寫的第二段所指為何。

• 劉毛毛 說道：

老師，不好意思
因為對網路不熟悉

在代入並轉換後會跟從上面數來的第四式不一樣
這個網頁中
http://www.mcs.csueastbay.edu/~malek/TeX/Sherman.pdf
他是說這是special case
但我不太了解為什麼可以這樣變換
打擾了
謝謝

• ccjou 說道：

恆等式 $P(I+QP)^{-1}=(I+PQ)^{-1}P$$P$ 是可逆矩陣，如此等號兩邊同取逆矩陣可得 $(I+QP)P^{-1}=P^{-1}(I+PQ)$。所以你不可以代入 $P=A^{-1}\mathbf{u}$$Q=\mathbf{v}^T$，等號右邊是向量而非方陣。

• 劉毛毛 說道：

老師,不好意思…
所以從上數來第四個式子是怎麼來的?
主要問題是這個
((我沒有惡意))

• 劉毛毛 說道：

補充:
因為由剛剛老師說的U,V,B代入後
會出現跟第四式不一樣的式子
所以我用了I+QP那個恆等式去轉換
試著把他們變成相同的形式
但轉變後不一樣

此時老師說等號右邊是向量
所以I+QP那個恆等式不能用

是想問第四個式子是怎麼來的?><""sorry

2. ccjou 說道：

$(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}$，替換 $U=\mathbf{u}$$B=b$$V=\mathbf{v}^T$ 可得
\begin{aligned} (A+\mathbf{u}b\mathbf{v}^T)^{-1}&=A^{-1}-A^{-1}\mathbf{u}(1+b\mathbf{v}^TA^{-1}\mathbf{u})^{-1}b\mathbf{v}^TA^{-1}\\ &=A^{-1}-b(1+b\mathbf{v}^TA^{-1}\mathbf{u})^{-1}A^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^TA^{-1} \end{aligned}
因為 $b$$1+b\mathbf{v}^TA^{-1}\mathbf{u}$ 是純量，可以放在前面。

• 劉毛毛 說道：

(1+bv’A^(-1)u)^(-1)
為什麼會變成純量?
假如如special case中所說的
v跟u是1*n矩陣,A為n*n矩陣
bv’A^(-1)u
v’為(n*1)矩陣
A^(-1)為(n*n矩陣
u為(1*n)矩陣
這三個有辦法相乘嗎?
還是說這邊的u跟v跟A會有另一種解釋?
問題很多..不好意思
謝謝您!

• ccjou 說道：

前面說過 $A$$m\times m$ 階，$B$ 是 $n\times n$ 階，$U$$m\times n$ 階，$V$$n\times m$階。當 $n=1$$I_n+BVA^{-1}U$ 退化為一純量。

• 劉毛毛 說道：

太厲害了!!!
感謝老師!!!
是我搞錯了,把V跟v的轉換弄錯
所以在這邊真的是special case才可以轉換成這種類型變化式
由衷感謝~真的是打擾了!