利用畫圖來證明 (一)

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假設矩陣 Am\times n 階,m 是列的數目,n 是行的數目。矩陣 A 的真實尺寸由秩決定,矩陣的行秩和列秩相等,所以簡稱秩。\mathrm{rank}A 就是對 A 執行消去法後得出的梯形矩陣其軸的總數 (注意軸不可為零)。如果將所有的軸列與軸行蒐集起來,同時位於軸列和軸行的元構成一個方陣。

 
如下圖,黃色方形分塊為軸列和軸行的交集,其邊長即為 \mathrm{rank}A。顯然,矩陣的秩不能大於其列數或行數,也就是

\mathrm{rank}A\leq \min\{m,n\}

參考下圖的分塊矩陣 \begin{bmatrix}    A&B\\    C&X\end{bmatrix},其中 Am\times n 階,Bm\times q 階,Cp\times n 階,Xp\times q 階,分塊 ABC 是給定的。

我們的問題是隨意選擇藍色分塊 X 使得整個分塊矩陣的秩是最大的,寫出最大秩的公式,其中包含 \mathrm{rank}A\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}\mathrm{rank}\begin{bmatrix}    A\\    C\end{bmatrix}

 
以消去法化將分塊 \begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}    A\\    C\end{bmatrix} 分別化簡為梯形矩陣。參考下圖,矩陣 A 內有一黃色方形分塊為單位矩陣,其邊長是 \mathrm{rank}A。灰色分塊內的所有元為皆零,白色分塊則表示那些我們不在乎的數值。

矩陣 BC 裡各自有一個黃色方形分塊,提醒各位這兩個黃色分塊未必比 A 的黃色方塊小,我這只是畫出示意圖而已。因為有了這兩個黃色分塊,\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}    A\\    C\end{bmatrix}的秩因此不小於 \mathrm{rank}A。這三個黃色分塊的相對位置受到限制,如同中國象棋「王不見王」的規定,每個黃色分塊佔據的列和行不會再有其他黃色分塊同時據有。排除了所有黃色分塊佔據的列和行,上圖 X 的藍色分塊是我們唯一能夠施力的區塊。

為了使整個矩陣的秩最大,我們應設法讓長方形藍色分塊塞進最大的黃色正方形,這時整個矩陣的秩即為四個黃色方形的邊長總和。

 
如果反過來問,要選擇分塊 X 使得整個矩陣的秩為最小。這很容易,只需要將藍色分塊都著成灰色即可,這說明矩陣 X 對於增加軸行或軸列沒有絲毫貢獻。

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7 則回應給 利用畫圖來證明 (一)

  1. foremap 說:

    WOW~ 我ㄧ開始嚇到了XD 蠻精美的耶

  2. 大俠 說:

    馬馬虎虎, 不過就是畫圖比敲數學式花時間

    已經解決了登入發言的安全性問題嗎?

  3. foremap 說:

    解決了~ 等座談會完再開放吧

  4. 大俠 說:

    是的, 等出版社的活動結束後才開放, 大概是4月初吧

    屆時請你在公佈欄說明如何註冊發文 (每個註冊都需要手動審核, 還是系統會自行執行?)

  5. foremap 說:

    系統自動執行 很方便的~

  6. gogosister 說:

    好深奧 XD
    不過我要謝謝老師的120題解答
    真的是很佛心
    翻遍市面上書局的線代書都沒看到
    有寫詳解寫的這麼嘔心瀝血的
    幾乎都是式子帶過
    所以有些地方自己看會看不懂QQ

  7. 大俠 說:

    佛心不敢當
    解題時我只是假裝自己正面對學生講解而已
    出版社的同仁非常敬業認真, 我也不好意思偷懶
    只是時間倉促, 難免有錯

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