快快樂樂學線代 (下篇)

數學是一種語言。線性代數的主要理論建立於十九世紀英國維多利亞時期,線性代數當然也使用如同珍‧奧斯汀小說「傲慢與偏見」裡的優美典雅文辭。

 
可是現代人學習線代並不是為了賞析文言文,而是要了解並應用線性代數 (數學系學生除外)。我們可以繼續沿用古人創造的記號,符號和名稱,但為了有效溝通,我們需要當代人容易理解以現代語言闡述的線性代數。

 
這不是說在證明結束時以 XD 取代 Q.E.D.,有點搞笑但意義不大。e 世代學生習慣以物件,程序,演算法為其思考對象,線性代數就應該視矩陣 A 為儲存數個行向量 \mathbf{a}_i  的物件,視矩陣 [T] 為表示線性變換 T 的程序,視矩陣 LU 為執行高斯消去法的演算記錄。

 
僅以現代語言論述線性代數還不足夠,我們更需要適合現代人的學習方法。 

 
現代人每天接收大量的資訊,面對多變的問題,短時間內要做正確的判斷。我們處在天天都要面臨問題,解決問題的時代。學習線代就應以「問題導向」的方式進行:以解決問題的方式學習,學習是為了解決問題。

 
傳統數學的教學方式我稱之為「數學導向」。老師先給個定義 (一般不會花大功夫去解釋定義從何而來),緊接著有些預備定理,然後定理登場,壓軸戲是證明此定理。可能的話,再補充一些應用作為結語。整個過程堪稱完美無瑕,但學生不過是見識數學之美,談不上學會了整套功夫。

 
「問題導向」的學習方式一開始不會過於強調定義,而是專注於概念,性質,以及和其他概念間的關係。譬如,「問題導向」不會一心只顧著行列式的算式定義,而是去發現交換兩列會改變其正負號,認識行列式值的幾何意義,並從特徵方程式探討行列式與特徵值的關係。

 
「問題導向」較「數學導向」更強調直覺的重要性,所以不會花太多力氣去證明定理,尤其是那些顯而易見的命題。對於「問題導向」學習法,證明的主要功用是從論證過程中剖析概念間的聯繫,而非呈現整個數學系統的完美性。

 
「問題導向」的學習過程不斷地重複「問題—想法(作法)—執行(實踐)」三個主要步驟,學生的學習任務是通過發現,發掘和發明,建立屬於自己的觀念與知識。

 
我鼓吹「問題導向」的學習方法並不是要搞個教改殘害學子,用不著大張旗鼓,只要老師願意,學生歡喜即可辦到。推行「問題導向」學習法的障礙不在政府,不在學校,不在學生,而是在於老師 (可憐,老師總是概括承受者)。

 
第一個原因是客觀條件不足。現今絕大多數的課本是以「數學導向」撰述,老師缺少適合「問題導向」的教學資源。第二個原因是主觀條件不夠。以「數學導向」方式教學比較省事省力,而「問題導向」要求老師必須不斷地提問,暗示與評論,期待老師長時間維持高度熱情確實有點「超過」。

 
「快快樂樂學線代」是異想,「減輕學習線代的痛苦」是夢想,以「問題導向」方式學習線代是理想。夢想能否實現,端視我們願意為理想付出多少而定。

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