快快樂樂學線代 (中篇)

聖嚴法師生前曾有句四他真言:「面對他,接受他,處理他,放下他。」

我們就試著用四他真言來減輕學習線代的痛苦。

 
面對他

首先面對問題:學習線代的痛苦何來?一句話:學習效果不彰。白忙一場,白費力氣,任誰都快樂不起來。

 
接受他

好,我們接受了學習效果不彰的事實,但原因為何?我歸納為「四不一沒有」:不明白定義的意涵,不清楚定理的用途,不瞭解證明的方法,不知道應用的過程,還要加上沒有學習動力。

 
處理他

接著我們要處理這些問題。做法不外是努力明白定義的意涵,設法清楚定理的用途,勤於瞭解證明的方法,加緊知道應用的過程,當然還要專心培養學習動力。(怪怪的,聽起來像是廢話。)

 
放下他

最後,如果處理不成,那就應該放下他。(是說乾脆放棄被當掉算了?)

 
四他真言似乎不太管用,繞了一圈又回到原點,這是怎麼回事?

 
「放下他」的意思不是「就這樣算了」,而是「忘記定義,捨去定理,拋棄證明,別理應用」。各位可能會認為:那不就是什麼都不用學了?請不要誤會。我的意思是不要著相,滿腦子填塞 DEF,THM,PF 這些符號,而是去問:這是什麼意思?這到底在做什麼?為什麼這麼做?這又要怎麼做?

 
要減輕學習線代的痛苦,要從改變教學和學習方法下手。舉例來說,多數人都知道「若 \mathrm{det}A=0,則方陣 A 不可逆,反之亦然。 」想像一下,主角是 \mathrm{det}AA^{-1},配角是秩 (rank),軸 (pivot) 以及特徵值,他們都有自己的性格,情節是行列式計算式,線性變換,特徵分析。

 
研習線代的學生就是編劇和導演,下面是他們編寫的合法劇本,前面的幾個字為劇名。

 
(一) 簡單例子:設 A 為 2 階方陣,A 的第一列為 (a, b),第二列為 (c, d)A 的逆矩陣代數式包含純量 1/(ad-bc),然而分母即為行列式 \mathrm{det}A=ad-bc

(二) 行列式性質:由逆矩陣關係 A^{-1}A=I,再運用行列式性質馬上有 \mathrm{det}(A^{-1}A)=\mathrm{det}A^{-1}\mathrm{det}A=\mathrm{det}I=1

(三) 行列式算式:將 n 階方陣 A 化簡為梯形矩陣 U (惟不使用伸縮列運算),\mathrm{det}A 即為 U 主對角元的乘積 (若列交換的運算總數為奇數,則改變行列式正負號。) 然而 U 裡不為零的主對角元總數也就是 \mathrm{rank}A。當 \mathrm{rank}A<nA 是不可逆的。

(四) 線性變換:將 n 階方陣 A 視為 \mathbb{R}^n \mathbb{R}^n 的線性變換矩陣,\mathrm{det}A 則表示 n 維空間單位立方體經此變換後的「體積」,若體積為零則代表線性變換無法再返回,即不可逆。

(五) 特徵值:行列式 \mathrm{det}A 等於 A 的特徵值乘積,因此 \mathrm{det}A=0 說明 A 有零特徵值,故 n 階方陣 A 的零空間包含非零向量,也就有 \mathrm{rank}A<n

 
以編劇/導演的作為來學習線代,在乎的是情節發展,當然也就不會拘泥於定義定理上面。這是一種「問題導向」的學習方式與主動出擊的學習態度,學習動力因此源源不絕。

 
接下去,我將進一步解釋為何要採用「問題導向」的學習方式。

 
繼續閱讀:快快樂樂學線代 (下篇)

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1 則回應給 快快樂樂學線代 (中篇)

  1. LA 說道:

    推薦一本書給線代初學者,可以邊看漫畫邊學線代.
    [世界第一簡單線性代數]

    作者:高橋信
    原文作者:TAKAHASHI SHIN
    譯者:謝仲其
    出版社:世茂
    出版日期:2010年04月27日
    語言:繁體中文 ISBN:9789866363405
    裝訂:平裝

    http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010467562

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