Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係?

本文的閱讀等級:初級

有一天在課堂上我用下例說明 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 的解集合是三維空間中穿越原點的一直線,所以是一個子空間,稱為 A 的零空間:

\begin{bmatrix}  1&2&4\\  1&3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x_{1}\\  x_{2}\\  x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0\\  0\end{bmatrix}

下課前三分鐘,再以下面這個例子

\begin{bmatrix}  1&2&4\\  1&3&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x_{1}\\  x_{2}\\  x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  4\\  5\end{bmatrix}

解釋 A\mathbf{x}=\mathbf{b} (\mathbf{b} 不為零向量) 的解集合是三維空間裡一條未穿越原點的直線,所以不是子空間。鐘響,趁亂趕緊又說這二條直線是平行的。

solutions-of-axb

Ax=0 和 Ax=b 的解集合

 
課後,眾人一哄而散。兩位同學過來問道:「為什麼 A\mathbf{x}=\mathbf{b}A\mathbf{x}=\mathbf{0} 的解集合是平行的直線?」我應該知道在下課鐘響時,草草告訴學生那些我認為理所當然的事情是不明智的。我更應該知道習於抱持理所當然的態度,會逐漸使人停止思考,任由慣性驅策,也是不明智的。這兩位同學的問題點醒了我。

 
先說為什麼 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 的解集合是一直線?如果不計算解,何妨找一些解出來看看,例如:

\begin{bmatrix}  x_{1}\\  x_{2}\\  x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0\\  0\\  0\end{bmatrix}, \left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  1\\  -1\end{array}\!\!\right], \left[\!\!\begin{array}{r}  4\\  2\\  -2\end{array}\!\!\right], \left[\!\!\begin{array}{r}  -2\\  -1\\  1\end{array}\!\!\right],\ldots

由此不難歸納出 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 的解確實是穿越原點的一直線:

\begin{bmatrix}  x_{1}\\  x_{2}\\  x_{3}\end{bmatrix}=\alpha\left[\!\!\begin{array}{r}  2\\  1\\  -1\end{array}\!\!\right]

 
再問為什麼 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的解集合也是一直線而且與上述直線平行?我們再找一些解出來看看,例如:

\begin{bmatrix}  x_{1}\\  x_{2}\\  x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  2\\  1\\  0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}  0\\  0\\  1\end{bmatrix}, \left[\!\!\begin{array}{r}  4\\  2\\  -1\end{array}\!\!\right],\ldots

這些點所形成的集合是一條未穿越原點的直線,但是如何能確認這二條直線平行呢?問題點出了我們如何由幾個例子推演出一般情況,從而「相信」命題為真。這時候我們需要使用符號,它的價值在於表示一般的情形。假設 \mathbf{u}\mathbf{v}A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的兩個解,於是有

\begin{aligned} A\mathbf{u}&=\mathbf{b}\\ A\mathbf{v}&=\mathbf{b}\end{aligned}

將兩式相減得到 A(\mathbf{u}-\mathbf{v})=\mathbf{0},這指出 (\mathbf{u}-\mathbf{v})A\mathbf{x}=\mathbf{0} 的解。整理得到的資訊,\mathbf{u}\mathbf{v}A\mathbf{x}=\mathbf{b} 解集合直線上的兩個點,因此 (\mathbf{u}-\mathbf{v}) 即為該直線的行進方向,但 (\mathbf{u}-\mathbf{v}) 也指出 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 解集合直線的行進方向,因此證明二直線平行。

兩解集合是平行直線的證明

進一步討論,方程式 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的通解可以寫為

\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_h

其中 \mathbf{x}_p 滿足 A\mathbf{x}_p=\mathbf{b},稱作特解,而 \mathbf{x}_h為齊次方程的解即 A\mathbf{x}_h=\mathbf{0}。特解 \mathbf{x}_p可以為 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 解所構成直線上的任意點,同理 \mathbf{x}_h 可以為 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 解所構成穿越原點直線上的任意點。瞧一瞧上面的圖,「畫意能達萬言」(a picture is worth a thousand words) 果真不假。

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1 則回應給 Ax=b 和 Ax=0 的解集合有什麼關係?

  1. monne 說道:

    上述文章,会给人错觉是,Ax=b的解空间就是三维上的一条直线,其中A为2*3矩阵,但实际并非如此啊。谢谢。

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