由簡約列梯形式判斷行空間基底

本文的閱讀等級:初級

給定一個向量集合 \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m\},如何從其中選擇最大的線性獨立子集合 (包含最多的線性獨立向量)?這個問題也可以換個方式說,令矩陣 A 的行向量[1]\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m,求 A 的行空間基底 (因為行空間 C(A) 的基底是線性獨立的)。

 
標準的方法是先計算矩陣 A 的簡約列梯形式 (reduced row echelon form) R,然後由 R 的形式判斷哪些行向量可以作為基底向量。看下面這個例子:

A=\begin{bmatrix}    1&2&1&3\\    1&2&2&5\\    1&2&3&7\end{bmatrix}

利用高斯消去法可得 A 的簡約列梯形式:

R=\begin{bmatrix}    1&2&0&1\\    0&0&1&2\\    0&0&0&0\end{bmatrix}

注意 R 的軸行 (即第 13 行) 是線性獨立的,得知 A 的軸行 (同樣也是第 13行) 是線性獨立的,故為行空間基底向量。由 R 的非軸行 (即第 24行) 還可以推知 A 的行向量彼此間的線性組合關係。令 \mathbf{a}_i 表示 A 的第 i 個行向量,R 的第 2 行說明

\mathbf{a}_{2}=2\mathbf{a}_{1}

亦即

\begin{bmatrix}    2\\    2\\    2\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}    1\\    1\\    1\end{bmatrix}

R 的第 4 行則指出

\mathbf{a}_{4}=\mathbf{a}_{1}+2\mathbf{a}_{3}

也就是

\begin{bmatrix}    3\\    5\\    7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    1\\    1\\    1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}    1\\    2\\    3\end{bmatrix}

 
為什麼簡約列梯形式 R 保存 A 矩陣的行向量關係?下課時有同學跑來問我。他們的疑惑來自於經過基本列運算後,矩陣 A 的行空間結構已經被摧毀,但是 R 為何還能保留住原矩陣 A 的行向量線性組合關係?這確實太奇怪了。要回答這個問題就必須連繫矩陣 AR。假設 3 階方陣 E 表示所有執行過的基本矩陣乘積,也就有 EA=R。因為基本矩陣都是可逆的,矩陣 E 也是可逆的,因此 A=E^{-1}R。令 \mathbf{b}_i 代表 E^{-1} 的行向量,將 AE^{-1} 以行向量表示,就有

\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_{1}&\mathbf{a}_{2}&\mathbf{a}_{3}&\mathbf{a}_{4}    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    \mathbf{b}_{1}&\mathbf{b}_{2}&\mathbf{b}_{3}    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    1&2&0&1\\    0&0&1&2\\    0&0&0&0\end{bmatrix}

乘開得到

\begin{aligned}  \mathbf{a}_{1}&=\mathbf{b}_{1}\\  \mathbf{a}_{2}&=2\mathbf{b}_{1}\\  \mathbf{a}_{3}&=\mathbf{b}_{2}\\  \mathbf{a}_{4}&=\mathbf{b}_{1}+2\mathbf{b}_{2}\end{aligned}

整理後發現 \mathbf{a}_{1}\mathbf{a}_{3} 確實是線性獨立的,因為每個 \mathbf{b}_{i} 都是獨立的 (可逆矩陣的行向量必定是獨立的,因為可逆矩陣的零空間僅有零向量),而且

\begin{aligned}  \mathbf{a}_{2}&=2\mathbf{a}_{1}\\  \mathbf{a}_{4}&=\mathbf{a}_{1}+2\mathbf{a}_{3}\end{aligned}

讀者可檢查確認線性組合的權重即為 R 的非軸行位於軸列的元。

 
縱使我們不曉得矩陣 A 為何,從它的簡約列梯形式 R 仍然可以完全清楚 A 其行向量間的獨立或相依關係。上述結果或許不常見於基礎教科書,若不是因為課後學生過來詢問細節,我恐怕也就順理成章地忽略這中間的推論過程。

註解:
[1] 在台灣,橫向稱為列,縱向稱為行。在中國大陸,橫向稱為行,縱向稱為列。

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6 則回應給 由簡約列梯形式判斷行空間基底

  1. npes_87184 說:

    關於簡約列梯形式,保存矩陣的行向量關係,我的想法不太一樣。
    這個問題之前在書中看到,也是想了很久,最後想到一種解釋。

    把這個問題的A矩陣[ A1 A2 … An] 其中 Ai為A的行向量。
    那WLOG,把 An排除掉,得到一個B矩陣。

    這時候就像是解Bx=An,就會很自然地去做列運算,找到的解,就是前n-1項如何表達出第An項。
    所以保證行向量的關係。

  2. shinyjoe 說:

    想請問一下
    簡約列梯形式到下一個通解
    那個通解釋怎麼出來的呀???

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