線性獨立俱樂部

本文的閱讀等級:初級

在向量空間中,線性獨立 (線性無關,linear independence) 是一個重要的概念。再加入生成空間 (linear span) 便衍生出有限維向量空間的基底 (基,basis) 與維數 (dimension)。2008年秋,我花了一個月的時間撰寫線性代數研究所入學試題解答。有一回寫到有關線性獨立的問題,一時興起在解答後留下這個註腳:

某向量 \mathbf{x} 欲申請加入一個已設立的「線性獨立俱樂部」,向量 \mathbf{x} 必須與俱樂部裡的每一個成員同時考慮是否仍可維持整體的獨立性。另一個篩選新成員的方式是由「線性獨立俱樂部」的成員設法也組合出與申請者 \mathbf{x} 一模一樣的向量,如果組合成功,表示該位申請者 \mathbf{x} 對於俱樂部沒有具體貢獻,因此斷然拒絕它加入。倘若組合失敗,那就歡迎向量 \mathbf{x} 入會並將其姓名照片也張貼在俱樂部大廳牆上。

 
對初學者而言,線性獨立是一個古怪的概念,最古怪的地方就是它的定義:向量集合 \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是線性獨立的,如果僅存在 c_1=c_2=\cdots=c_n=0 使得

c_{1}\mathbf{v}_{1}+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_{n}\mathbf{v}_{n}=\mathbf{0}

我們採用另一個較富直覺的方式解釋線性獨立並推導上述定義。我們稱一個向量 \mathbf{x} 在向量集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是線性相依的 (線性相關的,linearly dependent),若 \mathbf{x} 可以表示為 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n 的線性組合,換句話說,\mathbf{x} 屬於生成空間 \hbox{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}。相反的,我們說向量 \mathbf{x} 是線性獨立於向量集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\mathbf{x}\notin\hbox{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}。我們稱向量集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是線性獨立的,若其中每一個向量線性獨立於其餘的向量。在座標向量空間 \mathbb{R}^3,兩個向量是線性獨立的條件是不位於穿越原點的一條直線上;三個向量是線性獨立的條件是不位於穿越原點的一個平面上。根據定義,零向量 \mathbf{0} 線性相依於任何向量 \mathbf{x},因為 \mathbf{0}=0\mathbf{x}。另外,根據慣例,空集合 \emptyset 是一個線性獨立集,\{\mathbf{0}\} 是一個線性相依集,但單一非零向量 \mathbf{x} 形成的集合是線性獨立的。如果向量 \mathbf{x} 不屬於一個線性獨立集合的生成空間 \mathrm{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\},則 \mathbf{x} 無法表示為 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n 的線性組合,這時加大的向量集 \{\mathbf{x},\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 仍可維持其獨立性,採行此方式便可決定是否允許新成員加入「線性獨立俱樂部」。底下的定理給出線性獨立集的一個充要條件,近代許多教科書將此定理當作定義,因為它直接給出線性獨立集合的判定方法。

 
定理. 向量集 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是線性獨立的一個充要條件為 c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0} 蘊含 c_1=\cdots=c_n=0

先證明必要性。使用反證法,假設 \sum_{i=1}^nc_i\mathbf{v}_i=\mathbf{0} 且存在指標 jc_j\neq 0。因此,\mathbf{v}_j=\sum_{i\neq j}(-c_i/c_j)\mathbf{v}_i,表示 \mathbf{v}_j 線性相依於其餘向量,故產生矛盾。要證明充分性,假設 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 有相依性,意味至少一個向量 \mathbf{v}_j 可表示為其餘向量的線性組合,\mathbf{v}_j=\sum_{i\neq j}c_i\mathbf{v}_i。將上式改寫成 \sum_{i\neq j}c_i\mathbf{v}_i-\mathbf{v}_j=\mathbf{0},即證明所求。

 
這個定理的立即推論是如果一個向量屬於一組線性獨立向量集的生成空間,則該向量可唯一表示為線性獨立向量的線性組合。證明於下:假設 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是線性獨立的,且 \mathbf{x}\in\hbox{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}。寫出 \mathbf{x}=\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{v}_i。如果還有另一種表示向量 \mathbf{v} 的組合方式,\mathbf{x}=\sum_{i=1}^nd_i\mathbf{v}_i,將上面二式相減,\sum_{i=1}^n(c_i-d_i)\mathbf{v}_i=\mathbf{0}。根據定理1,c_i=d_ii=1,\ldots,n,證畢。

 
不論理論或應用,唯一性是一個非常重要的性質。在「線性獨立俱樂部」所生成的向量空間,「線性獨立俱樂部」就是一組基底,而維數──「線性獨立俱樂部」的成員數──則代表這個生成空間的大小。

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4 Responses to 線性獨立俱樂部

  1. 孟欽 說道:

    Woody Allen 在影片中提到:我不會想加入任何會接受我做會員的俱樂部。 看起來,他的俱樂部會員只能是空集合 : p

  2. 計組小粉絲 說道:

    文中第四段
    若 x 可以表示為 x1, …, xn 的線性組合,換句話說,x 屬於生成空間 span{v1, …, vn}。
    應為
    若 x 可以表示為 v1, …, vn 的線性組合,換句話說,x 屬於生成空間 span{v1, …, vn}。

  3. 計組小粉絲 說道:

    文中第六段
    假設 {v1, …, vn} 有相依性,意味至少一個向量 vj 可表示為其餘向量的線性組合,xj = …
    應為
    假設 {v1, …, vn} 有相依性,意味至少一個向量 vj 可表示為其餘向量的線性組合,vj = …

    • ccjou 說道:

      非常感謝你指出這些錯誤,已訂正。為什麼會有這些typo?我想到兩個可能的原因:
      第一,我的老花眼鏡度數嚴重不足;
      第二,當下在寫blog的時候,老婆正催我去洗碗。

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