由簡約列梯形式判斷線性方程解的結構

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給定一 m\times n 階實矩陣 A,線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的解有哪些可能性?對於任意 m 維向量 \mathbf{b},解是否存在?又是否唯一?或者說解的結構為何?從矩陣 A 的簡約列梯形式 (reduced row echelon form) R,我們可以回答上述關於解的結構問題。看這個例子:

A=\begin{bmatrix}  1&2&1&3\\  1&2&2&5\\    1&2&3&7\end{bmatrix}

利用高斯—約當法可以得出矩陣 A 的簡約列梯形式 (見“高斯─約當法”),如下:

R=\begin{bmatrix}  1&2&0&1\\  0&0&1&2\\    0&0&0&0\end{bmatrix}

此例中,R 包含三類元素:

  • R 的軸行 (pivot column,包含軸的行) 為第 1,3 行,R 的軸列 (pivot row,包含軸的列) 為第 1,2 列,將所有同位於軸行和軸列的元挑出來,可以合成一個 2 階單位矩陣,得知 \mathrm{rank}A=2
  • R 的非軸行 (即第 2,4 行) 對應齊次方程式組 R\mathbf{x}=\mathbf{0} 的自由變數。
  • R 包含一零列,置於最底。

 
為方便說明,我們可以置換變數使軸變數居左,具體地說,上例的簡約列梯形式右乘一排列矩陣 (permutation matrix) 可得

\begin{bmatrix}  1&2&0&1\\  0&0&1&2\\    0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1&0&0&0\\  0&0&1&0\\  0&1&0&0\\  0&0&0&1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&0&2&1\\  0&1&0&2\\  0&0&0&0  \end{bmatrix}

在不失一般性原則下,我將簡約列梯形式的軸行置於最左邊,並用分塊矩陣表示如下:

R=\begin{bmatrix}  I_{r}&F\\  0&0\end{bmatrix}

注意,I_rr 階單位矩陣,r=\mathrm{rank}AFr\times (n-r) 階矩陣,最底共有 (m-r) 個零列。R 的型態直接告訴我們解的結構,分為四種情況,利用秩—零度定理 (見“線性代數基本定理 (一)”) 可以完整解讀線性方程解的唯一性和存在性。

 
情況一:r=nr<m

R=\begin{bmatrix}  I_{r}\\  0\end{bmatrix}

矩陣 R 不含分塊 F,表示不存在自由變數,零空間 N(A)=N(R)=\{\mathbf{0}\},這確定了解的唯一性。又因 r<m,行空間 C(A) 其維數為 r,故無法充滿整個 \mathbb{R}^m,這使得解未必存在 (除非 \mathbf{b} 屬於 C(A))。綜合零空間與行空間性質,得知方程式可能無解或僅有唯一解。

four-subsapces-and-r1

情況一

 
情況二:r=mr<n

R=\begin{bmatrix}  I_{r}&F  \end{bmatrix}

矩陣 RF 分塊,表示至少有一個自由變數,零空間 N(A)=N(R)\neq\{\mathbf{0}\},這使得解不具唯一性。又因 r=m,行空間 C(A) 充滿了整個 \mathbb{R}^m,故對於任意 \mathbf{b},方程式總是有無窮多組解。

four-subsapces-and-r2

情況二

 
情況三:r=mr=n

R=I_{r}

矩陣 R 等於單位矩陣,表示沒有自由變數,零空間 N(A)=N(R)=\{\mathbf{0}\}。因 r=m,行空間 C(A) 充滿了整個 \mathbb{R}^m,故對於任意 \mathbf{b},總是有唯一解。

four-subsapces-and-r3

情況三

 
情況四:r<mr<n

R=\begin{bmatrix}  I_{r}&F\\  0&0\end{bmatrix}

矩陣 RF 分塊,表示至少有一個自由變數,零空間 N(A)=N(R)\neq\{\mathbf{0}\},解不具唯一性。因 r<m,行空間 C(A) 無法充滿整個 \mathbb{R}^m。對於任意 \mathbf{b},方程式可能無解或者存在無窮多組解。

four-subsapces-and-r4

情況四

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5 Responses to 由簡約列梯形式判斷線性方程解的結構

  1. aocwind 說道:

    對結果整理了一下:)
    A:m*n matrix
    \begin{cases}
    \mbox{x has no solution or the unique solution} &\mbox{if }rank(A)=n,rank(A)<m\\
    \mbox{x has infinite solutions}&\mbox{if } rank(A)=m,rank(A)<n\\
    \mbox{x has the unique solution} &\mbox{if }rank(A)=m=n\\
    \mbox{x has no solution or infinite solutions} &\mbox{if } rank(A)<m, rank(A)<n\\
    \end{cases}

  2. aocwind 說道:

    對結果整理了一下:)
    A:m*n matrix \begin{cases} \mbox{x has no solution or the unique solution} &\mbox{if }rank(A)=n,rank(A)<m\\ \mbox{x has infinite solutions}&\mbox{if } rank(A)=m,rank(A)<n\\ \mbox{x has the unique solution} &\mbox{if }rank(A)=m=n\\ \mbox{x has no solution or infinite solutions} &\mbox{if } rank(A)<m, rank(A)<n\\ \end{cases}
    註:文字的敘述部份已經了解了,可以請老師對圖形說明一下嗎?看不太懂老師想透過圖形所表達什麼觀念,謝謝:)

  3. ccjou 說道:

    圖形跟文字說的是同一件事, 文字不容易記得(一般人的存文字記憶半衰期只有一兩個月), 但是只要畫畫圖就明白四種情況分別對應 N(A)=\{0\}(子空間顏色消失), N(A^T)=\{0\}, 兩者都只含0, 以及兩者都包含非零向量. 由各子空間的大小立刻推論出解的情況. 例如, r=n<m, 圖的右邊 N(A^T) 不為零空間就表示 b 可能不在 C(A) 中, 故可能無解. 圖的左邊 N(A) 消失, 就表示沒有零空間解, 故至多僅有一列空間解.

  4. powei 說道:

    我想問一個問題,一開始舉的R的例子,後來用block matrix開始論證,但左上角並不是一個二階的單位矩陣。想問說是因為可以交換column嗎?

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