蒙提霍爾問題

女兒第一次看到我的部落格的反應是：

「你的 blog 超無聊的啦……＠＠」

女兒從小就很孝順，會說出這種大逆不道的話應是無心之過。沒生氣，我原諒她。

「無聊？blog 是為拯救眾生而非娛樂大家。」我驕傲地回答。

「好啦，you got a point…你的 blog 使命重大，是要幫助很多人的！但我還是很期待 [你] 真的可以架設一個心靈啟迪小站之類的，感覺更適合你，哈哈。」

 
也許吧，我承認這個專講線性代數的部落格是有點沈悶，於是決定增加一個分類「無關線代」，裡面放些與線性代數無關的心靈小品。這次就講一個輕鬆的故事好了，叫做「蒙提霍爾問題」(Monty Hall Problem)。話說1990年，身為《展示雜誌》(Parade Magazine) 的專欄作家瑪麗蓮‧沃斯‧莎凡特 (Marilyn vos Savant) 收到一封讀者來函 (我直接引用維基百科，參考英文網址或中文網址)：

假設你正在參加一個遊戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有一輛車；其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門，假設是一號門，然後知道門後面有甚麼的主持人，開啟了另一扇後面有山羊的門，假設是三號門。他然後問你：「你想選擇二號門嗎？」轉換你的選擇對你來說具有優勢嗎？

 
瑪麗蓮是何許人也？瑪麗蓮於1946年生於美國，她是目前金氏世界記錄所認定最高智商的人。瑪麗蓮長期在《展示雜誌》裡開闢名為「問瑪麗蓮」的專欄，回覆各式各樣的古怪問題，上述「蒙提霍爾問題」是其中最著名的一個問題。

 
瑪麗蓮回覆說：「轉換選擇是明智的。」

 
解答公布之後，瑪麗蓮收到數千封讀者投書，其中包含數百位數學博士和大學教授。他們一致譴責全世界最聰明的人這次完全搞錯了：是否轉換選擇與勝負無關，參賽者贏得車子的機率不論如何都是50%。

 
我從別爾斯基 (Gary Belsky) 與季洛維奇 (Thomas Gilovich) 合著的《半斤非八兩：跳出理財的心理陷阱》(Why smart people make big money mistakes and how to correct them) 讀到下面這些辛辣的批評。

有一個數學博士說：「身為一位專業數學家，我非常關心社會大眾普遍缺乏數學技能這件事。幫幫忙，請承認妳的錯誤，往後並請更加小心。」

另一個博士說：「我們數學系有正當的理由嘲笑妳！」

第三位博士又說：「這個國家已經有夠多的數學文盲，我們不需要全世界最高智商的人來傳播更多。妳真羞恥！^[1]。」

 
事實恰好相反，正是這些數學博士在傳播錯誤的訊息，瑪麗蓮才是對的。想要進一步研究這個問題與解答的讀者可以閱讀維基百科的解釋 (英文版圖文並茂也比較詳細)，或者觀賞清楚有趣的 YouTube 影片說明。

 
我自己從「蒙提霍爾問題」學到的教訓是，開口嘲笑他人之前最好先回家仔細想一想。如果自己懶得用功，那就盡量保持開放的態度而且不要輕易批評別人。

 
附註：
[1] 這個回應最辛辣，原文：“You blew it, and you blew it big! Since you seem to have difficulty grasping the basic principle at work here, I’ll explain. After the host reveals a goat, you now have a one-in-two chance of being correct. Whether you change your selection or not, the odds are the same. There is enough mathematical illiteracy in this country, and we don’t need the world’s highest IQ propagating more. Shame!”

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