利用畫圖來證明 (二)

本文的閱讀等級:初級

假設實矩陣 Am\times n 階,Bn\times p 階,且 C=AB。有這個性質,矩陣 C 的秩不大於矩陣 A 的秩或矩陣 B 的秩:

\mathrm{rank}C\leq \min\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}

也就是說,不論矩陣如何相乘,乘積的秩不會大於任何一個相乘矩陣的秩。

 
我們以繪圖方式推理並證明上述命題。先預備必要知識,矩陣的秩是什麼意思?有下面幾個同義的基本性質:

  • 消去法簡化得到矩陣其軸 (pivot) 的總數;
  • 矩陣行空間的維數;
  • 矩陣行空間基底的基底向量總數。

矩陣的秩即為其行空間大小的一種度量。

 
我們可以將線性變換想成矩陣,也可以把矩陣想成線性變換,這兩個概念其實是密切相關的。因此矩陣 A 的秩也就是 A 所表示的線性變換的秩,或者說矩陣 A 的行空間的維數等於它所代表的線性變換的值域 (range) 的維數。以下用 \text{ran}(A) 表示 A 的值域。

 
命題裡牽涉矩陣乘積 AB,這暗示我們不妨試著把矩陣按順序安排。參考下圖,我們視 AB 表示複合變換。矩陣 B 先將所有的 p 維向量映至 n 維空間,因此 \mathrm{ran}(B)\mathbb{R}^n 的子空間,矩陣 A 接著將 \mathrm{ran}(B) 的所有向量映至 m 維空間裡的子空間 \mathrm{ran}(AB)。顯然,\mathrm{ran}(AB) 屬於 \mathrm{ran}(A),故 \mathrm{rank}(AB)\le\mathrm{rank}A

ab-mapping2

複合線性變換的子空間映射

再來利用秩—零度定理:矩陣 A 的定義域 \mathbb{R}^n 的維數等於其值域的維數與零空間的維數之和,即

n=\dim\mathrm{ran}(A)+\dim\ker(A)

\mathrm{rank}A=\dim\mathrm{ran}(A)\le n。秩—零度定理亦適用於 \mathbb{R}^n 的任意子空間作為定義域,考慮 A 的定義域為 \mathrm{ran}(B),則

\begin{aligned}  \mathrm{rank}(AB)&=\dim\mathrm{ran}(AB)\le\dim\mathrm{ran}(B)=\mathrm{rank}B\end{aligned}

綜合以上結論,故得證。

ab-mapping1

線性變換的核與值域

 
以高階的程序概念取代原本較為低階的符號運算,是個強而有力的思考推理方法。下次碰到和矩陣乘積有關的問題,未必就一定要以矩陣運算的角度來詮釋,試著轉換問題要素,從而形成一種具有連續關係的變換次序,並繪出圖形以幫助我們釐清彼此關係。

相關閱讀:
Advertisements
This entry was posted in 線性代數專欄, 向量空間 and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s