如何檢查兩矩陣是否相似

本文的閱讀等級：初級

設 $A$ 與 $B$ 為 $n\times n$ 階矩陣，若存在可逆矩陣 $M$ 使得 $A=MBM^{-1}$ ，我們稱 $A$ 相似於 $B$ 。相似矩陣的意義是若以矩陣 $M$ 的行向量 (column vector) 作為基底向量，線性變換 $A$ 參考此基底的變換矩陣即為 $B$ 。給定兩個同階方陣，要如何判定他們是否相似？這個問題等價於是否存在可逆矩陣 $M$ 滿足 $AM=MB$ 。如果不運用相似矩陣的性質，我們可以單純地將此問題視為求解矩陣方程式。表面上，欲解出 $n\times n$ 階矩陣 $M$ ，我們必須應付一個包含 $n^2$ 個未知數的齊次方程組 (參見“每週問題 May 11, 2009”)。

那麼何不試試利用相似矩陣的性質來解決這個問題？兩個相似矩陣最重要的不變量是其特徵值相同 (包含相重特徵值)。證明直截了當，考慮特徵方程 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ，代入相似關係式就有

$MBM^{-1}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$

同時左乘 $M^{-1}$ 可得

$BM^{-1}\mathbf{x}=\lambda M^{-1}\mathbf{x}$

說明 $B$ 也有與 $A$ 相同的特徵值 $\lambda$ ，但 $B$ 的特徵向量為 $M^{-1}\mathbf{x}$ 。另一個證明直接計算特徵多項式，

$\begin{aligned} p_A(t)&=\det(A-tI)=\det(MBM^{-1}-tI)\\ &=\det(M(B-tI)M^{-1})=(\det M)(\det(B-tI))(\det M)^{-1}\\ &=\det(B-tI)=p_B(t) \end{aligned}$

利用上述性質的反向陳述，若 $A$ 和 $B$ 有相異的特徵值集合，則 $A$ 不相似於 $B$ 。例如，上三角矩陣 $A$ 有特徵值 $1,2,3$ ，而 $B$ 有特徵值 $0,2,3$ ，因此這兩個矩陣並不相似：

$A=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&2&1\\ 0&0&3\end{bmatrix},~ B=\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&2&1\\ 0&0&3\end{bmatrix}$

當 $A$ 和 $B$ 有相同的特徵值集合時，我們需利用其他條件來檢查相似關係。最直接的作法是引入一個對角矩陣，設 $\Lambda$ 為對角矩陣，其主對角元即為 $A$ (也是 $B$ ) 的特徵值。接著，再根據對角化性質區分三種情形：

$A$ 和 $B$ 皆可對角化；
$A$ 和 $B$ 恰有一個矩陣可對角化；
$A$ 和 $B$ 皆不可對角化。

第一種情形，若 $A$ 與 $B$ 皆可對角化，設 $A=S\Lambda S^{-1}$ ， $B=T\Lambda T^{-1}$ ，矩陣 $A$ 和 $B$ 都相似於對角矩陣 $\Lambda$ 。將第二式寫為 $\Lambda=T^{-1}BT$ ，以此式代入第一式便有

$A=ST^{-1}BTS^{-1}=ST^{-1}B(ST^{-1})^{-1}$

得知 $A$ 相似於 $B$ 。如下例， $A$ 有相異的特徵值 $1,2,3$ ，所以必為可對角化， $B$ 亦同：

$A=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&2&1\\ 0&0&3\end{bmatrix},~ B=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&2&1\\ 0&0&3\end{bmatrix}$

第二種情形，假設 $B$ 可對角化，但 $A$ 不可對角化。因此， $B$ 相似於對角矩陣 $\Lambda$ ，而 $A$ 則否。根據相似關係的傳遞性質，推論 $A$ 不相似於 $B$ (否則 $A$ 將相似於 $\Lambda$ ，這違背 $A$ 為不可對角化矩陣的假設)。如下例， $B$ 已經是對角形式， $A$ 有特徵值 $2,3,3$ ，但不可對角化：

$A=\begin{bmatrix} 2&1&1\\ 0&3&1\\ 0&0&3\end{bmatrix},~ B=\begin{bmatrix} 2&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3\end{bmatrix}$

第三種情形， $A$ 和 $B$ 都不可對角化。一時間或許看不出什麼具體結果，不妨找些例子試驗。考慮下例：

$A=\begin{bmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix},~ B=\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix}$

將矩陣 $M$ 以其行向量表示 $M=\begin{bmatrix} \mathbf{m}_1&\mathbf{m}_2&\mathbf{m}_3\end{bmatrix}$ ，那麼代表相似性質的矩陣方程式可寫為

$A\begin{bmatrix} \mathbf{m}_1&\mathbf{m}_2&\mathbf{m}_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{m}_1&\mathbf{m}_2&\mathbf{m}_3\end{bmatrix}B$

為了避免直接求解 $9\times 9$ 階系統，我們將 $B$ 的數值代入，並展開為三個標準形式的方程式：

$\begin{aligned} A\mathbf{m}_1&=\mathbf{0}\\ A\mathbf{m}_2&=\mathbf{m}_1\\ A\mathbf{m}_3&=\mathbf{m}_2\end{aligned}$

接著逐一找出各未知向量的解，讀者可自行檢查以下的一組解是線性獨立的，因此 $M$ 是可逆的：

$\mathbf{m}_1=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix},~\mathbf{m}_2=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{bmatrix},~\mathbf{m}_3=\left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 1\end{array}\!\!\right]$

此例的矩陣 $A$ 相似於 $B$ 。

再考慮下面這個例子，同樣地， $A$ 和 $B$ 都是不可對角化：

$A=\begin{bmatrix} 0&1&2\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{bmatrix},~ B=\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix}$

矩陣 $M$ 的行向量必須滿足

$\begin{aligned} A\mathbf{m}_1&=0\mathbf{m}_1\\ A\mathbf{m}_2&=0\mathbf{m}_2\\ A\mathbf{m}_3&=\mathbf{m}_1\end{aligned}$

注意，矩陣 $A$ 僅有一線性獨立特徵向量， $\mathbf{m}_1$ 和 $\mathbf{m}_2$ 因此相依，故 $M$ 不為可逆矩陣，此例的 $A$ 和 $B$ 並不相似。

綜合前述分析，我們將結果整理於下：

若 $A$ 和 $B$ 的特徵值相異，則 $A$ 與 $B$ 不相似。若 $A$ 和 $B$ 有相同的特徵值，考慮下列三種可能情況：

當 $A$ 和 $B$ 都可對角化時， $A$ 相似於 $B$ 。
當 $A$ 和 $B$ 恰有一個矩陣可對角化， $A$ 和 $B$ 不相似。
當 $A$ 和 $B$ 都不可對角化時，可以透過解方程式一途來確定兩個矩陣是否相似。要徹底解決如何檢查矩陣是否相似此問題，必須使用其他進階方式，有興趣的讀者請閱讀“Jordan 典型形式淺說 (上)”和“Jordan 形式大解讀 (上)”。

1 Response to 如何檢查兩矩陣是否相似

林冬晖 says:

01/01/2016 at 1:10 pm

感谢，解说得很好

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