rank AB = rank BA?

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初學線性代數的學生常會抱怨:上課都聽的懂,課本也看的懂,但問題就是不會做。很大一部分原因是老師授課方式多半按照課本編排進行,而課本是作者去蕪存菁整理得來的知識結晶,那些被作者忽略遺棄的探索過程──縱使是些失敗的經歷──反而包含了許多珍貴的學習素材。線代初學者最迫切需要掌握的其實是培養洞察力,也就是經由收集線索、切入破題和發現探索來建構自己的知識系統,下面我用一個問題情境說明這樣的學習過程。

 
Am\times n 階矩陣且 Bn\times m 階矩陣。ABBA 分別是 m\times m 階和 n\times n 階。考慮這個不太常見的問題:ABBA 是否有相等的秩?沒頭緒?不要緊,先猜一猜。憑直覺我們可能猜測 \mathrm{rank}(AB)\mathrm{rank}(BA) 相等,下一步再想辦法證明這是正確的。

 
第一個想法是利用 \mathrm{rank}(AB)\mathrm{rank}A\mathrm{rank}B 的關係,參考 “利用畫圖來證明(二)”:

\mathrm{rank}(AB)\le\min\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}

顯然也就有

\mathrm{rank}(BA)\le\min\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}

以上不等式說明了 \mathrm{rank}(AB)\mathrm{rank}(BA) 有相等的上限。如果讀者碰巧知道 Sylvester 不等式,參見 “每週問題 April 27, 2009”,ABBA 的秩分別有個下限:

\begin{aligned}  \mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B-n&\le\mathrm{rank}(AB)\\  \mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B-m&\le\mathrm{rank}(BA)\end{aligned}

但不幸地,僅確定 \mathrm{rank}(AB)\mathrm{rank}(BA) 的範圍仍不能推論二者確實相等。

 
再想想看,ABBA 有何關係?細心的讀者必然注意到有篇同名貼文“AB 和 BA 有何關係?”曾經證明了 ABBA 的非零特徵值完全相同 (包含重複的特徵值)。但是一矩陣其非零特徵值的總數等於此矩陣的秩嗎?有這種事?不要太急著下結論,懷疑論者會做的第一件事就是唱反調──去找個反例,這並不困難,例如:

C=\begin{bmatrix}    1&0&0\\    1&0&0\\    1&1&0    \end{bmatrix}

下三角矩陣 C 有特徵值 1,0,0,但 C 有 2 個線性獨立行向量 (column vector),\mathrm{rank}C=2。很遺憾,這次又走入死胡同!

 
嘗試了兩個方法結果都不了了之,這時是不是應該懷疑也許先前的猜測是錯的,\mathrm{rank}(AB) 未必等於 \mathrm{rank}(BA)?於是我們轉而尋找二者不相等的證據。設法先縮小尋找 AB 的範圍,假設 m=2n=3,且 \mathrm{rank}A=1\mathrm{rank}B=2,由前述不等式可知

\begin{aligned}  0&\le\mathrm{rank}(AB)\le 1\\    1&\le\mathrm{rank}(BA)\le 1\end{aligned}

接下來,只要找到 AB 使 \mathrm{rank}(AB)=0\mathrm{rank}(BA)=1 就行了。

 
矩陣 A 僅有一個線性獨立的行向量,因此隨意令

A=\begin{bmatrix}    1&1&1\\    0&0&0    \end{bmatrix}

再從 \mathrm{rank}(AB)=0 切入,因為 B 有二個線性獨立的行向量,而且 B 的行向量屬於 A 的零空間,立刻就有

B=\left[\!\!\begin{array}{rr}    -1&-1\\    0&1\\    1&0    \end{array}\!\!\right]

計算 ABBA,結果如下:

AB=\begin{bmatrix}    0&0\\    0&0    \end{bmatrix},~~ BA=\left[\!\!\begin{array}{rrr}    -1&-1&-1\\    0&0&0\\    1&1&1    \end{array}\!\!\right]

成功!此例確實是 \mathrm{rank}(AB)\neq\mathrm{rank}(BA)

 
從尋找反例的過程,我們發現 \mathrm{rank}(AB) 之所以未必與 \mathrm{rank}(BA) 相等的神秘現象是由於 B 的行向量可能落在 A 的零空間內,因而折損矩陣 AB 的行空間結構,亦即縮減其行空間的維數。尋找反例是一項重要的學習活動,藉此我們可更清楚認識符號運算底下的意義,實際效用是不僅釐清概念的邊界也強化了不同觀念間的聯繫。

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