矩陣三角化的 Schur 定理

本文的閱讀等級：中級

令 $A$ 是一個 $n\times n$ 階矩陣， $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 為 $A$ 的特徵值 (包含重複特徵值)， $\mathbf{x}_i$ 為對應特徵值 $\lambda_i$ 的特徵向量。我們稱 $A$ 是可對角化矩陣 (diagonalizable matrix)，若 $A$ 可分解為

$A=S\Lambda S^{-1}$ ，

或表示成 $S^{-1}AS=\Lambda$ ，其中 $n\times n$ 階可逆矩陣 $S$ 的行向量 (column vector) 由特徵向量 $\mathbf{x}_i$ 組成，即 $S=\begin{bmatrix} \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_n \end{bmatrix}$ ，且 $\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ 是特徵值構成的對角矩陣。不過，任意方陣 $A$ 未必都可對角化。退而求其次，是否存在可逆矩陣 $M$ 使得 $M^{-1}AM$ 具有他樣簡單形式？這包含了兩個問題：應否限制 $M$ 為某種特殊矩陣以便利搜尋？還有所謂的簡單形式究竟為何？以下我們考慮矩陣三角化的問題：設 $M=U$ 為么正矩陣 (unitary matrix，或譯為酉矩陣)， $U$ 是可逆矩陣且 $U^{\ast}=U^{-1}$ (見“特殊矩陣 (3)：么正矩陣 (酉矩陣)”)。令 $U^{\ast}AU=T$ ，其中 $T$ 是上三角矩陣。我們將證明任意方陣都可么正三角化 (unitarily triangularizable)，意指任意方陣都么正相似於一個上三角矩陣，此三角矩陣的主對角元即為 $A$ (同樣也是 $T$ ) 的特徵值。這個結果由德國數學家舒爾 (Issai Schur) 率先提出，故名為 Schur 定理。若 $A$ 是實矩陣且所有的特徵值皆為實數，則 $U$ 變成實正交矩陣 (orthogonal matrix) $Q$ ，滿足 $Q^T=Q^{-1}$ 。

Issai Schur (1875-1941) From http://www.research.ufl.edu/publications/images/explore/v05n2/Schur2copy.jpg

嚴格的證明方式可採行歸納法，但為了方便說明與理解，我們僅考慮 $3\times 3$ 階矩陣 $A$ 。注意， $A$ 的特徵值可能完全重複，令 $A$ 的一個特徵值為 $\lambda_1$ ，至少存在一個對應的特徵向量 $\mathbf{x}_1$ ， $\Vert\mathbf{x}_1\Vert=1$ 。將 $3$ 維向量 $\mathbf{x}_1$ 置於矩陣 $U_1$ 的第一行，

$U_1=\begin{bmatrix} & \vline & \ast & \ast\\ \mathbf{x}_1 & \vline&\ast & \ast\\ & \vline & \ast&\ast \end{bmatrix}$ ，

而 $U_1$ 的其餘兩行則由 Gram-Schmidt 正交化過程決定 (見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”)，如此可保證 $U_1$ 是么正矩陣。從特徵方程式 $A\mathbf{x}_1=\lambda_1\mathbf{x}_1$ 可知

$AU_1=A\begin{bmatrix} & \vline & \ast & \ast\\ \mathbf{x}_1 & \vline&\ast & \ast\\ & \vline & \ast&\ast \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} & \vline & \ast & \ast\\ \lambda_1\mathbf{x}_1 & \vline&\ast & \ast\\ & \vline & \ast&\ast \end{bmatrix}=U_1\begin{bmatrix} \lambda_1&\vline&\bullet&\bullet\\ \hline 0&\vline&\ast&\ast\\ 0&\vline&\ast&\ast \end{bmatrix}$ ，

或寫為

$U_1^{\ast}AU_1=\begin{bmatrix} \lambda_1&\vline&\bullet&\bullet\\ \hline 0&\vline&\ast&\ast\\ 0&\vline&\ast&\ast \end{bmatrix}=B$ 。

下一個步驟僅需考慮 $B$ 矩陣右下標示為 $\ast$ 的 $2\times 2$ 階分塊。令此 $2\times 2$ 階分塊的一個特徵值為 $\lambda_2$ ，正規化後的 $2$ 維特徵向量以 $\mathbf{x}_2$ 表示。如前一步驟作法，將 $\mathbf{x}_2$ 填入 $U_2$ 右下 $2\times 2$ 分塊的第一行，第二行同樣可由正交化過程確定，可得

$U_2=\begin{bmatrix} 1&\vline&0& & 0\\ \hline 0&\vline&\mathbf{x}_2&\vline&\ast\\ 0&\vline& &\vline&\ast \end{bmatrix}$ 。

展開整理各項次，不難確認下式成立：

$BU_2=U_2\begin{bmatrix} \lambda_1&\bullet&\vline&\bullet\\ 0&\lambda_2&\vline&\bullet\\ \hline 0&0&\vline&\ast \end{bmatrix}$ ，

或寫為

$U_2^{\ast}BU_2=\begin{bmatrix} \lambda_1&\bullet&\vline&\bullet\\ 0&\lambda_2&\vline&\bullet\\ \hline 0&0&\vline&\ast \end{bmatrix}$ 。

至此，我們得到了ㄧ個上三角矩陣 $T$ ，整個計算過程表示如下：

$U_2^{\ast}U_1^{\ast}AU_1U_2=\begin{bmatrix} \lambda_1&\bullet&\bullet\\ 0&\lambda_2&\bullet\\ 0&0&\lambda_3 \end{bmatrix}=T$ ，

其中么正矩陣乘積 $U=U_1U_2$ 仍然是么正矩陣，因為

$(U_1U_2)^{-1}=U_2^{-1}U_1^{-1}=U_2^{\ast}U_1^{\ast}=(U_1U_2)^{\ast}$ ，

也就證得 $U^{\ast}AU=T$ 。

下面我用一個例子展示計算過程。考慮

$A=\left[\!\!\begin{array}{crr} 4&-4&-3\\ 1&2&-1\\ 2&-4&-1 \end{array}\!\!\right]$ 。

先找出 $A$ 的一個特徵值 $\lambda_1=1$ ，對應的單位特徵向量是 $\mathbf{x}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ ，擴充出 $\mathbb{C}^3$ 的一組基底 (見“線性獨立向量集的判定與算法”，例3)，再使用 Gram-Schmidt 正交程序得到么正矩陣 $U_1$ 的另兩個單位向量，結果如下：

$U_1=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&1\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0 \end{bmatrix}$ ，

接者算出

$B=U_1^{\ast}AU_1=\begin{bmatrix} 1&5&-4\sqrt{2}\\ 0&2&0\\ 0&\sqrt{2}&2 \end{bmatrix}$ 。

再考慮 $B$ 矩陣右下 $2\times 2$ 階分塊 $\begin{bmatrix} 2&0\\ \sqrt{2}&2 \end{bmatrix}$ ，其特徵值為 $\lambda_2=2$ ，特徵向量為 $\mathbf{x}_2=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$ ，就有

$U_2=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{bmatrix}$ 。

所以相似於 $A$ 的上三角矩陣為

$T=U_2^{\ast}BU_2=\begin{bmatrix} 1&-4\sqrt{2}&5\\ 0&2&\sqrt{2}\\ 0&0&2 \end{bmatrix}$ 。

對於大尺寸方陣，第一步要計算 $U_1$ ，接下來是 $U_2$ ， $U_3$ ，等等，最後還要將它們相乘才能得到 $U$ 。這整個計算過程顯然一點也不有趣，或許因為這個理由，矩陣三角化不常見於近代基礎線性代數教本，往後我將介紹一些矩陣三角化在矩陣理論推導的應用。

4 Responses to 矩陣三角化的 Schur 定理

無極真人 says:

12/02/2010 at 7:09 pm

以前好像可以直接下載~
請問版主~那個功能是否被移除了?

ccjou says:

12/02/2010 at 7:26 pm

之前管理員曾經嘗試外掛 pdf 轉檔功能，但試了幾套程式仍無法獲得良好效果，暑假期間變更頁面時便將此功能移除。目前我們覺得效果最好的方式是由網友自行將打開頁面轉成 pdf，方法之一是安裝免費軟體 pdf995，網址如下：
http://toget.pchome.com.tw/category/business/9376.html
以列印方式指定輸出印表機為 pdf995 即可產生 pdf 檔，之後再儲存至指定資料夾，不過頁面上的所有文字包括迴響也都會一併列印出來。

vtriplev says:

12/28/2010 at 1:33 pm

我自己的解讀做一些註解:
U1是選擇{x1,&…}為1組基底,以N維空間標準基底{e1,e2…en}所表示的基底矩陣
而U2則是再稍微變換1下選擇另1組調整過的{x1,*…}基底,且在以U1為基底的表示下
[U2]based on U1=第一行為e1(1,0,0..),第一列的第2行以後的元素均為0
這個新選的微調基底在以N維空間標準基底{e1,e2…en}所表示時
就是U, U=U1*U2

計組小粉絲 says:

01/03/2017 at 12:16 pm

文中範例
$x_{1}= \begin{bmatrix} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\\ 0\\ \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \end{bmatrix}$
之後再與 $I= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 的行向量做 GSO 正交化
得出 $U_{1}$
是這樣子對吧
之前我找不到 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 是多少
想破頭都無法 GSO 正交化

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