Jordan 典型形式淺說 (上)

本文的閱讀等級:中級

對於任一 n\times n 階實矩陣 A,存在一實正交 (orthogonal) 矩陣 Q 滿足 Q^T=Q^{-1},使得 Q^{-1}AQ=T 為上三角矩陣,這種相似變換稱為三角化 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”)。若 A 為一複矩陣,則正交矩陣 Q 替換為么正 (unitary) 矩陣 UU^\ast=U^{-1}。如果解除正交 (或么正) 矩陣的限制,是否總是存在可逆矩陣 M 使得 M^{-1}AM 具有與對角矩陣最相近的形式?這個問題的答案,也是矩陣對角化問題的總結,稱為 Jordan 典型形式 (Jordan canonical form) 或 Jordan 形式。

 
考慮下列 5\times 5 階矩陣[1]

A=\begin{bmatrix}    8&0&0&8&8\\    0&0&0&8&8\\    0&0&0&0&0\\    0&0&0&0&0\\    0&0&0&0&8    \end{bmatrix}

特徵值為 8,8,0,0,0。特徵值 \lambda=8 的相重數為 2 並僅有一個線性獨立特徵向量,特徵值 \lambda=0 的相重數為 3 且有 2 個獨立的特徵向量。比較簡潔的說法是 \lambda=8 的代數重數為 2,幾何重數為 1,特徵值 \lambda=0 的代數重數為 3,幾何重數為 2。因為幾何重數小於代數重數,A 不可對角化 (見“可對角化矩陣與缺陷矩陣的判定”)。

 
Jordan 典型形式定理說明 Jordan 形式的存在性:對於矩陣 A,存在一可逆矩陣 M 使得

M^{-1}AM=J

其中 J 稱為 Jordan 矩陣,具有所謂的 Jordan 形式:

J=\begin{bmatrix}    8&1&0&0&0\\    0&8&0&0&0\\    0&0&0&1&0\\    0&0&0&0&0\\    0&0&0&0&0    \end{bmatrix}

矩陣 A 共有 3 個線性獨立的特徵向量,分別對應 J3 個主對角分塊,即

J_1=\begin{bmatrix}    8&1\\    0&8    \end{bmatrix},~ J_2=\begin{bmatrix}    0&1\\    0&0    \end{bmatrix},~ J_3=\begin{bmatrix}    0\end{bmatrix}

因此,Jordan 典型形式也稱為分塊對角化 (block diagonal)。每一個 Jordan 分塊皆為三角矩陣並對應一個特徵值和一個特徵向量,形式如下:

J_i=\begin{bmatrix}    \lambda_i&1& ~&~\\    ~&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    ~&~&~&~    \lambda_i\end{bmatrix}

每個主對角分塊的階數 m>1,此外 m 個主對角元 \lambda_i 的上方還有 m-11

 
在特徵值的代數重數不大於 3 的情況下,找出特徵向量即可決定 J 的形式,下面的例子說明較為複雜的情況。若 4\times 4 矩陣的特徵值 \lambda 的代數重數為 4,可能的 Jordan 形式有:

\begin{bmatrix}    \lambda&1&0&0\\  0&\lambda&1&0\\  0&0&\lambda&1\\  0&0&0&\lambda  \end{bmatrix},~~\begin{bmatrix}  \lambda&1&0&0\\  0&\lambda&1&0\\  0&0&\lambda&0\\  0&0&0&\lambda  \end{bmatrix},~~\begin{bmatrix}  \lambda&1&0&0\\  0&\lambda&0&0\\  0&0&\lambda&1\\  0&0&0&\lambda  \end{bmatrix},~~\begin{bmatrix}  \lambda&1&0&0\\  0&\lambda&0&0\\  0&0&\lambda&0\\  0&0&0&\lambda  \end{bmatrix},~~\begin{bmatrix}  \lambda&0&0&0\\  0&\lambda&0&0\\  0&0&\lambda&0\\  0&0&0&\lambda  \end{bmatrix}

其中第2種與第3種 Jordan 矩陣都有 2 個獨立特徵向量,也就是說,如果 4 階矩陣 J2 個獨立的特徵向量,那麼存在兩種不同的 Jordan 形式。

 
在此稍停,讀者可能注意到在“如何檢查兩矩陣是否相似”一文中,我們僅利用矩陣的特徵值來發展判斷方法,結果不但相當複雜而且也不算完備,原因在於不能避免直接求解巨大的矩陣方程。利用矩陣的 Jordan 典型形式,亦即利用矩陣的特徵向量,我們可以得到更精簡的結果:如果兩個矩陣有相同的 Jordan 典型形式,則它們具有相似性

 
看下面這個例子:

A=\left[\!\!\begin{array}{cr}    2&-1\\    1&0    \end{array}\!\!\right],~ B=\begin{bmatrix}    1&0\\    1&1    \end{bmatrix},~ T=\begin{bmatrix}    1&2\\    0&1    \end{bmatrix}

有相同的 Jordan 典型形式,它們都相似於

J=\begin{bmatrix}    1&1\\    0&1    \end{bmatrix}

注意 BTJ 是三角矩陣,特徵值正是主對角元。這些矩陣有重複特徵值 1,1,且僅有一個特徵向量,因此 J 僅含一個分塊。我們可以證明 ABTJ 彼此相似,亦即它們都同屬於一個「相似矩陣家族」,Jordan 典型形式 J 就是這個大家庭的代表。從 TJ,我們僅需將元 2 改為 1,下面的對角矩陣 M 滿足 J=M^{-1}TM

M=\begin{bmatrix}    1&0\\    0&1/2    \end{bmatrix}

AJ,將 A 三角化 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”),必定存在正交矩陣 Q 使得 Q^{-1}AQ=T,再利用 T 相似於 J 的關係,推知相似關係具有傳遞性:

J=M^{-1}TM=M^{-1}Q^{-1}AQM=(QM)^{-1}A(QM)

BJ,只需要將 B 轉置即可,排列矩陣 P 可實現 P^{-1}BP=J,其中

P=\begin{bmatrix}    0&1\\    1&0    \end{bmatrix}

單位矩陣 I=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix} 是否也屬於這個相似家族?單位矩陣 I 也有特徵值 1,1,但 I 有兩個線性獨立特徵向量,故其 Jordan 典型形式含 2 個分塊,I 本身就已經是 Jordan 典型形式,說明了 I 並不相似於 ABTJ

 
本文介紹了任何方陣必定有 Jordan 典型形式,利用此性質我們可以檢查二矩陣是否相似。接下來,我們將討論如何以建構方法求矩陣的 Jordan 典型形式以及可逆轉換矩陣 M

 
參考來源:
[1] 取自 1988 年 Gilbert Strang 著 Linear algebra and its applications,第三版。

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