利用 Jordan form 解差分方程與微分方程

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n\times n 階矩陣 A 是可對角化的,則 A 可分解為 A=S\Lambda S^{-1},其中特徵向量矩陣 S 的行向量由 A 的特徵向量組成,特徵值矩陣 \Lambda 為對角矩陣,其主對角元即為特徵值。在此情況下,很容易計算冪矩陣 A^k 和矩陣指數 e^{At} (請參考“矩陣指數”):

A^k=S\Lambda^{k}S^{-1}

e^{At}=Se^{\Lambda t}S^{-1}

對角矩陣 \Lambda 的冪矩陣和矩陣指數分別具有以下的簡單形式:

\Lambda^k=\begin{bmatrix}  \lambda_1^k&~&~\\  ~&\ddots&~\\  ~&~&\lambda_n^k  \end{bmatrix},~e^{\Lambda t}=\begin{bmatrix}  e^{\lambda_1 t}&~&~\\  ~&\ddots&~\\  ~&~&e^{\lambda_n t}  \end{bmatrix}

 
A 不為可對角化,我們可以得到其 Jordan 典型形式,詳細過程請參見“Jordan 典型形式淺說 (上) ”,這時 A 可分解為 A=MJM^{-1}J 是分塊對角矩陣,同樣也有

A^k=MJ^{k}M^{-1}

e^{At}=Me^{Jt}M^{-1}

剩下來的問題是如何計算 J^ke^{Jt}

 
J_i 表示 J 的主對角分塊,亦即 Jordan 分塊,如下例 J 包含三個主對角分塊:

J=\begin{bmatrix}  J_1&~&~\\  ~&J_2&~\\  ~&~&J_3  \end{bmatrix}

分塊主對角 (block diagonal) 矩陣其冪矩陣和矩陣指數為

J^k=\begin{bmatrix}  J_1^k&~&~\\  ~&J_2^k&~\\  ~&~&J_3^k  \end{bmatrix},~e^{Jt}=\begin{bmatrix}  e^{J_1t}&~&~\\  ~&e^{J_2t}&~\\  ~&~&e^{J_3t}  \end{bmatrix}

我們可以分開來計算各分塊 J_i^ke^{J_{i}t},例如,3\times 3 階 Jordan 分塊的冪矩陣為

J_i^k=\begin{bmatrix}  \lambda&1&0\\  0&\lambda&1\\  0&0&\lambda  \end{bmatrix}^{k}=\begin{bmatrix}  \lambda^k&k\lambda^{k-1}&\frac{k(k-1)}{2}\lambda^{k-2}\\  0&\lambda^k&k\lambda^{k-1}\\  0&0&\lambda^k  \end{bmatrix}

利用矩陣指數展開式

\displaystyle e^{J_i t}=I+J_it+\frac{1}{2}(J_it)^2+\cdots

相加整理後可以求出 Jordan 分塊的矩陣指數:

\displaystyle e^{J_i t}=\begin{bmatrix}  e^{\lambda t}&te^{\lambda t}&\frac{t^2}{2}e^{\lambda t}\\  0&e^{\lambda t}&te^{\lambda t}\\  0&0&e^{\lambda t}  \end{bmatrix}

 
利用矩陣 A 的 Jordan 典型形式,可以求解差分方程和微分方程,解的形式相當簡潔。差分方程式 \mathbf{u}_{k+1}=A\mathbf{u}_k 的解為

\mathbf{u}_k=A^k\mathbf{u}_0=MJ^kM^{-1}\mathbf{u}_0

微分方程 \frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u} 的解則為

\mathbf{u}(t)=e^{At}\mathbf{u}_0=Me^{Jt}M^{-1}\mathbf{u}_0

其中 \mathbf{u}_0 為給定的初始向量。

 
我們也可以從另一個角度解釋求解過程,以微分方程為例,最重要也是最有效的求解步驟在於去除耦合,採用的手段是變數變換。令 \mathbf{v} 滿足 \mathbf{u}=M\mathbf{v},原本的微分方程 \frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u} 變為

\displaystyle M\frac{d\mathbf{v}}{dt}=AM\mathbf{v}

等號兩邊同時左乘 M^{-1},就有

\displaystyle\frac{d\mathbf{v}}{dt}=M^{-1}AM\mathbf{v}=J\mathbf{v}

這是我們能夠得到最簡約的等價微分方程,Jordan 典型形式的用途即在於簡化方程式,由此解出 \mathbf{v} 之後,再與 M 相乘即為所求 \mathbf{u}

 
下面我用一個例子來說明微分方程的整個求解程序。考慮以下 5\times 5 階矩陣 A 以及其 Jordan 典型形式 J,請見“Jordan 典型形式淺說 (下) ”:

A=\begin{bmatrix}  8&0&0&8&8\\  0&0&0&8&8\\  0&0&0&0&0\\  0&0&0&0&0\\  0&0&0&0&8  \end{bmatrix},~ J=\begin{bmatrix}  8&1&0&0&0\\  0&8&0&0&0\\  0&0&0&1&0\\  0&0&0&0&0\\  0&0&0&0&0  \end{bmatrix}

矩陣 M 滿足 M^{-1}AM=J,從 Jordan 典型形式的推導過程也得知

M=\left[\!\!\begin{array}{cccrc}  8&0&0&-1&0\\  0&1&8&0&0\\  0&0&0&0&1\\  0&0&0&1&0\\  0&1&0&0&0  \end{array}\!\!\right]

 
步驟一:計算 e^{Jt}。作法是分開計算 e^{Jt} 的三個主對角分塊,結果如下:

e^{Jt}=\begin{bmatrix}  e^{8t}&te^{8t}&0&0&0\\  0&e^{8t}&0&0&0\\  0&0&e^{0t}&te^{0t}&0\\  0&0&0&e^{0t}&0\\  0&0&0&0&e^{0t}  \end{bmatrix}

步驟二:計算 \mathbf{u}(t)。令 M 的各行向量為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_5,再令常數向量 \mathbf{c}=M^{-1}\mathbf{u}_0\mathbf{c} 由初始值 \mathbf{u}_0 決定,則 

\mathbf{u}(t)=Me^{Jt}\mathbf{c}

執行矩陣乘法,將乘積 Me^{Jt} 以其行向量表示

Me^{Jt}=\begin{bmatrix}  e^{8t}\mathbf{x}_1&e^{8t}(t\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2)&e^{0t}\mathbf{x}_3&e^{0t}(t\mathbf{x}_3+\mathbf{x}_4)&e^{0t}\mathbf{x}_5  \end{bmatrix}

最後得到微分方程的通解:

\mathbf{u}=c_1\mathbf{u}_1+\cdots+c_5\mathbf{u}_5

其中 5 個特殊解就是 Me^{Jt} 的行向量:

\begin{aligned} \mathbf{u}_1&=e^{8t}\mathbf{x}_1\\  \mathbf{u}_2&=e^{8t}(t\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2)\\  \mathbf{u}_3&=e^{0t}\mathbf{x}_3\\  \mathbf{u}_4&=e^{0t}(t\mathbf{x}_3+\mathbf{x}_4)\\  \mathbf{u}_5&=e^{0t}\mathbf{x}_5\end{aligned}

通解即為

\mathbf{u}(t)=(c_1+c_2t)e^{8t}\mathbf{x}_1+c_2e^{8t}\mathbf{x}_2+(c_3+c_4t)e^{0t}\mathbf{x}_3+c_4e^{0t}\mathbf{x}_4+c_5e^{0t}\mathbf{x}_5

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