利用 Jordan form 解差分方程與微分方程

Posted on 08/28/2009 by ccjou

本文的閱讀等級：中級

若 n\times n 階矩陣 A 是可對角化的，則 A 可分解為 A=S\Lambda S^{-1}，其中特徵向量矩陣 S 的行向量由 A 的特徵向量組成，特徵值矩陣 \Lambda 為對角矩陣，其主對角元即為特徵值。在此情況下，很容易計算冪矩陣 A^k 和矩陣指數 e^{At} (請參考“矩陣指數”)：

A^k=S\Lambda^{k}S^{-1}

e^{At}=Se^{\Lambda t}S^{-1}

對角矩陣 \Lambda 的冪矩陣和矩陣指數分別具有以下的簡單形式：

\Lambda^k=\begin{bmatrix} \lambda_1^k&~&~\\ ~&\ddots&~\\ ~&~&\lambda_n^k \end{bmatrix},~e^{\Lambda t}=\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t}&~&~\\ ~&\ddots&~\\ ~&~&e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}

 
若 A 不為可對角化，我們可以得到其 Jordan 典型形式，詳細過程請參見“Jordan 典型形式淺說 (上) ”，這時 A 可分解為 A=MJM^{-1}，J 是分塊對角矩陣，同樣也有

A^k=MJ^{k}M^{-1}

e^{At}=Me^{Jt}M^{-1}

剩下來的問題是如何計算 J^k 和 e^{Jt}。

 
令 J_i 表示 J 的主對角分塊，亦即 Jordan 分塊，如下例 J 包含三個主對角分塊：

J=\begin{bmatrix} J_1&~&~\\ ~&J_2&~\\ ~&~&J_3 \end{bmatrix}

分塊主對角 (block diagonal) 矩陣其冪矩陣和矩陣指數為

J^k=\begin{bmatrix} J_1^k&~&~\\ ~&J_2^k&~\\ ~&~&J_3^k \end{bmatrix},~e^{Jt}=\begin{bmatrix} e^{J_1t}&~&~\\ ~&e^{J_2t}&~\\ ~&~&e^{J_3t} \end{bmatrix}

我們可以分開來計算各分塊 J_i^k 和 e^{J_{i}t}，例如，3\times 3 階 Jordan 分塊的冪矩陣為

J_i^k=\begin{bmatrix} \lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda \end{bmatrix}^{k}=\begin{bmatrix} \lambda^k&k\lambda^{k-1}&\frac{k(k-1)}{2}\lambda^{k-2}\\ 0&\lambda^k&k\lambda^{k-1}\\ 0&0&\lambda^k \end{bmatrix}

利用矩陣指數展開式

\displaystyle e^{J_i t}=I+J_it+\frac{1}{2}(J_it)^2+\cdots

相加整理後可以求出 Jordan 分塊的矩陣指數：

\displaystyle e^{J_i t}=\begin{bmatrix} e^{\lambda t}&te^{\lambda t}&\frac{t^2}{2}e^{\lambda t}\\ 0&e^{\lambda t}&te^{\lambda t}\\ 0&0&e^{\lambda t} \end{bmatrix}

 
利用矩陣 A 的 Jordan 典型形式，可以求解差分方程和微分方程，解的形式相當簡潔。差分方程式 \mathbf{u}_{k+1}=A\mathbf{u}_k 的解為

\mathbf{u}_k=A^k\mathbf{u}_0=MJ^kM^{-1}\mathbf{u}_0

微分方程 \frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u} 的解則為

\mathbf{u}(t)=e^{At}\mathbf{u}_0=Me^{Jt}M^{-1}\mathbf{u}_0

其中 \mathbf{u}_0 為給定的初始向量。

 
我們也可以從另一個角度解釋求解過程，以微分方程為例，最重要也是最有效的求解步驟在於去除耦合，採用的手段是變數變換。令 \mathbf{v} 滿足 \mathbf{u}=M\mathbf{v}，原本的微分方程 \frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u} 變為

\displaystyle M\frac{d\mathbf{v}}{dt}=AM\mathbf{v}

等號兩邊同時左乘 M^{-1}，就有

\displaystyle\frac{d\mathbf{v}}{dt}=M^{-1}AM\mathbf{v}=J\mathbf{v}

這是我們能夠得到最簡約的等價微分方程，Jordan 典型形式的用途即在於簡化方程式，由此解出 \mathbf{v} 之後，再與 M 相乘即為所求 \mathbf{u}。

 
下面我用一個例子來說明微分方程的整個求解程序。考慮以下 5\times 5 階矩陣 A 以及其 Jordan 典型形式 J，請見“Jordan 典型形式淺說 (下) ”：

A=\begin{bmatrix} 8&0&0&8&8\\ 0&0&0&8&8\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&8 \end{bmatrix},~ J=\begin{bmatrix} 8&1&0&0&0\\ 0&8&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}

矩陣 M 滿足 M^{-1}AM=J，從 Jordan 典型形式的推導過程也得知

M=\left[\!\!\begin{array}{cccrc} 8&0&0&-1&0\\ 0&1&8&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0 \end{array}\!\!\right]

 
步驟一：計算 e^{Jt}。作法是分開計算 e^{Jt} 的三個主對角分塊，結果如下：

e^{Jt}=\begin{bmatrix} e^{8t}&te^{8t}&0&0&0\\ 0&e^{8t}&0&0&0\\ 0&0&e^{0t}&te^{0t}&0\\ 0&0&0&e^{0t}&0\\ 0&0&0&0&e^{0t} \end{bmatrix}

步驟二：計算 \mathbf{u}(t)。令 M 的各行向量為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_5，再令常數向量 \mathbf{c}=M^{-1}\mathbf{u}_0，\mathbf{c} 由初始值 \mathbf{u}_0 決定，則　

\mathbf{u}(t)=Me^{Jt}\mathbf{c}

執行矩陣乘法，將乘積 Me^{Jt} 以其行向量表示

Me^{Jt}=\begin{bmatrix} e^{8t}\mathbf{x}_1&e^{8t}(t\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2)&e^{0t}\mathbf{x}_3&e^{0t}(t\mathbf{x}_3+\mathbf{x}_4)&e^{0t}\mathbf{x}_5 \end{bmatrix}

最後得到微分方程的通解：

\mathbf{u}=c_1\mathbf{u}_1+\cdots+c_5\mathbf{u}_5

其中 5 個特殊解就是 Me^{Jt} 的行向量：

\begin{aligned} \mathbf{u}_1&=e^{8t}\mathbf{x}_1\\ \mathbf{u}_2&=e^{8t}(t\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2)\\ \mathbf{u}_3&=e^{0t}\mathbf{x}_3\\ \mathbf{u}_4&=e^{0t}(t\mathbf{x}_3+\mathbf{x}_4)\\ \mathbf{u}_5&=e^{0t}\mathbf{x}_5\end{aligned}

通解即為

\mathbf{u}(t)=(c_1+c_2t)e^{8t}\mathbf{x}_1+c_2e^{8t}\mathbf{x}_2+(c_3+c_4t)e^{0t}\mathbf{x}_3+c_4e^{0t}\mathbf{x}_4+c_5e^{0t}\mathbf{x}_5

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