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在“利用畫圖來證明 (二)”,我們證明了對於任意矩陣 和
,乘積
的秩不會大於任何一個相乘矩陣的秩,即
我們以繪圖方式解釋矩陣乘法如何映射子空間,並利用秩—零度定理 (見“ 線性代數基本定理 (一)”) 聯繫相關子空間的維數。我們自然繼續問:矩陣之和 的秩與
和
的秩又有何關係?
矩陣秩 與
也有簡單的關係:
以 表示矩陣
的行空間 (column space),矩陣的秩就是行空間的維數,記為
。證明過程從這個性質出發,首先,
的行空間
包含所有的
其中 是任意向量。接著,我們需要一個新概念──行空間之和。
考慮向量空間 的兩個子空間
和
。令
,
,所有可能的向量
也構成
的一個子空間 (請讀者自行檢查子空間必須滿足的向量加法及純量乘法封閉性),記為
。設
,
必定可寫為
和
所包含向量的線性組合:
這說明 可由子空間
和
的聯集擴張而成,
回到我們的問題,行空間之和 包含所有的
其中 和
是任意的。顯然,
又因為子空間的維數等於基底向量的總數,所以
剩下的問題是不等式的右邊 和
會有什麼關係?
我們考慮一般的情況,同樣假設 ,
為定義於同一向量空間內的兩個子空間,
和
的大小關係如何?不難猜中答案,證明步驟也很簡單。直接使用子空間維數的定義,若
的基底向量為
,
的基底向量為
,這些基底向量的聯集
必定大到足以擴張 ,也就是說,
的維數不會大於
,亦即
這也就證明了
合併我們得到的兩個不等式,
關於如何求子空間之和的基底的演算法,請參見“每週問題 September 14, 2009”,此題並進一步證明容斥定理:
我在參考解答裡採用的證明方式與本文稍有不同,作法是先將子空間 ,
的基底向量建構成一矩陣,隨之利用秩—零度定理推導出以上結果。