利用子空間和證明 rank(A+B) 不大於 rank A+rank B

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在“利用畫圖來證明 (二)”，我們證明了對於任意矩陣 和 ，乘積 的秩不會大於任何一個相乘矩陣的秩，即

我們以繪圖方式解釋矩陣乘法如何映射子空間，並利用秩—零度定理 (見“ 線性代數基本定理 (一)”) 聯繫相關子空間的維數。我們自然繼續問：矩陣之和 的秩與 和 的秩又有何關係？

 
矩陣秩 與 也有簡單的關係：

以 表示矩陣 的行空間 (column space)，矩陣的秩就是行空間的維數，記為 。證明過程從這個性質出發，首先， 的行空間 包含所有的

其中 是任意向量。接著，我們需要一個新概念──行空間之和。

 
考慮向量空間 的兩個子空間 和 。令 ，，所有可能的向量 也構成 的一個子空間 (請讀者自行檢查子空間必須滿足的向量加法及純量乘法封閉性)，記為 。設 ， 必定可寫為 和 所包含向量的線性組合：

這說明 可由子空間 和 的聯集擴張而成，

回到我們的問題，行空間之和 包含所有的

其中 和 是任意的。顯然，

又因為子空間的維數等於基底向量的總數，所以

剩下的問題是不等式的右邊 和 會有什麼關係？

 
我們考慮一般的情況，同樣假設 ， 為定義於同一向量空間內的兩個子空間， 和 的大小關係如何？不難猜中答案，證明步驟也很簡單。直接使用子空間維數的定義，若 的基底向量為 ， 的基底向量為 ，這些基底向量的聯集

必定大到足以擴張 ，也就是說， 的維數不會大於 ，亦即

這也就證明了

合併我們得到的兩個不等式，

 
關於如何求子空間之和的基底的演算法，請參見“每週問題 September 14, 2009”，此題並進一步證明容斥定理：

我在參考解答裡採用的證明方式與本文稍有不同，作法是先將子空間 ， 的基底向量建構成一矩陣，隨之利用秩—零度定理推導出以上結果。

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