利用子空間和證明 rank(A+B) 不大於 rank A+rank B

本文的閱讀等級:初級

在“利用畫圖來證明 (二)”,我們證明了對於任意矩陣 AB,乘積 AB 的秩不會大於任何一個相乘矩陣的秩,即

\mathrm{rank}(AB)\le\min\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}

我們以繪圖方式解釋矩陣乘法如何映射子空間,並利用秩—零度定理 (見“ 線性代數基本定理 (一)”) 聯繫相關子空間的維數。我們自然繼續問:矩陣之和 A+B 的秩與 AB 的秩又有何關係?

 
矩陣秩 \mathrm{rank}(A+B)\mathrm{rank}A, \mathrm{rank}B 也有簡單的關係:

\mathrm{rank}(A+B)\le\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B

C(A) 表示矩陣 A 的行空間 (column space),矩陣的秩就是行空間的維數,記為 \mathrm{rank}A=\dim C(A)。證明過程從這個性質出發,首先,A+B 的行空間 C(A+B) 包含所有的

(A+B)\mathbf{z}=A\mathbf{z}+B\mathbf{z}

其中 \mathbf{z} 是任意向量。接著,我們需要一個新概念──行空間之和。

 
考慮向量空間 \mathcal{V} 的兩個子空間 \mathcal{U}\mathcal{W}。令 \mathbf{u}\in\mathcal{U}\mathbf{w}\in\mathcal{W},所有可能的向量 \mathbf{u}+\mathbf{w} 也構成 \mathcal{V} 的一個子空間 (請讀者自行檢查子空間必須滿足的向量加法及純量乘法封閉性),記為 \mathcal{U}+\mathcal{W}。設 \mathbf{v}\in\mathcal{U}+\mathcal{W}\mathbf{v} 必定可寫為 \mathcal{U}\mathcal{W} 所包含向量的線性組合:

\mathbf{v}=c\mathbf{u}+d\mathbf{w}

這說明 \mathcal{U}+\mathcal{W} 可由子空間 \mathcal{U}\mathcal{W} 的聯集擴張而成,

\mathcal{U}+\mathcal{W}=\mathrm{span}\{\mathcal{U}\cup \mathcal{W}\}

回到我們的問題,行空間之和 C(A)+C(B) 包含所有的

A\mathbf{x}+B\mathbf{y}

其中 \mathbf{x}\mathbf{y} 是任意的。顯然,

C(A+B)\subseteq C(A)+C(B)

又因為子空間的維數等於基底向量的總數,所以

\mathrm{rank}(A+B)\le\dim(C(A)+C(B))

剩下的問題是不等式的右邊 \mathrm{dim}(C(A)+C(B))\mathrm{dim}C(A)+\mathrm{dim}C(B) 會有什麼關係?

 
我們考慮一般的情況,同樣假設 \mathcal{U}\mathcal{W} 為定義於同一向量空間內的兩個子空間,\dim(\mathcal{U}+\mathcal{W})\dim\mathcal{U}+\dim\mathcal{W} 的大小關係如何?不難猜中答案,證明步驟也很簡單。直接使用子空間維數的定義,若 \mathcal{U} 的基底向量為 \{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_m\}\mathcal{W} 的基底向量為 \{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\},這些基底向量的聯集

\{\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_m,\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\}

必定大到足以擴張 \mathcal{U}+\mathcal{W},也就是說,\mathcal{U}+\mathcal{W} 的維數不會大於 m+n,亦即

\dim(\mathcal{U}+\mathcal{W})\le\dim\mathcal{U}+\dim\mathcal{W}

這也就證明了

\dim(C(A)+C(B))\le\dim C(A)+\dim C(B)

合併我們得到的兩個不等式,

\mathrm{rank}(A+B)\le\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B

 
關於如何求子空間之和的基底的演算法,請參見“每週問題 September 14, 2009”,此題並進一步證明容斥定理:

\dim(\mathcal{U}+\mathcal{W})+\dim(\mathcal{U}\cap\mathcal{W})=\dim\mathcal{U}+\dim\mathcal{W}

我在參考解答裡採用的證明方式與本文稍有不同,作法是先將子空間 UW 的基底向量建構成一矩陣,隨之利用秩—零度定理推導出以上結果。

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