## 線性映射與座標變換

$A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\!\!\right],~~\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix},~~\mathbf{y}=A\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{r} -4\\ 2 \end{array}\!\!\right]$

\begin{aligned} T(\mathbf{x}+\mathbf{z})&=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{z})\\ T(c\mathbf{x})&=cT(\mathbf{x}).\end{aligned}

$\mathbf{x}\xrightarrow[]{~A~}\mathbf{y}$

$\begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix}\xrightarrow[]{~A~}\left[\!\!\begin{array}{r} -4\\ 2 \end{array}\!\!\right]$

$X\xrightarrow[]{~A~}Y$

\begin{aligned} Y=AX&=\left[\!\!\begin{array}{cr} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 2&3&3&1&1\\ 4&3&1&1&3 \end{bmatrix}\\ &=\left[\!\!\begin{array}{rrrrr} -4&-3&-1&-1&-3\\ 2&3&3&1&1 \end{array}\!\!\right].\end{aligned}

\begin{aligned} \mathbf{x}&\xrightarrow[]{~B~}B\mathbf{x}\xrightarrow[]{~A~}A(B\mathbf{x})\end{aligned}

$\mathbf{x}\xrightarrow[]{~AB~}(AB)\mathbf{x}$

\begin{aligned} AB&=\left[\!\!\begin{array}{cr} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1 \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{rc} 0&1\\ -1&0 \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

$\mathbf{y}=\left[\!\!\begin{array}{r} -4\\ 2 \end{array}\!\!\right]=(-4)\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}=-4\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2$

\begin{aligned} \mathbf{y}&=A\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{cr} 0&-1\\ 1&0 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}+4\left[\!\!\begin{array}{r} -1\\ 0 \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

$\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix},~\mathbf{v}_2=\left[\!\!\begin{array}{r} -1\\ 0 \end{array}\!\!\right]$

$\mathbf{y}=A[\mathbf{y}]_{\mathfrak{B}}$

$?\xrightarrow[]{~A~}\mathbf{y}$

$A[?]_{\mathfrak{B}}=\mathbf{y}$

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### 4 Responses to 線性映射與座標變換

1. kaerfuka says:

个人愚见，作为坐标变换的解释，还是要补充 $\mathbf{y}=I\mathbf{y}$，即 $\mathbf{y}$ 本身可以看作在标准基 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$ 下的坐标这部分说明。只用一组基 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 讲坐标变换有些突兀。

• ccjou says:

謝謝你的建議，補充了一小段說明。

2. 許文信 says:

老師好
Ax=Y 文中提及這是映射過程
那我是否可以
1. 想像成x是特定向量藉由A的線性組合映射至Y?
2. 可否將x想像成向量中的單位向量，但在x的列向量中的每個元素不一定具有相同方向。然後一個方程式是藉由線性組合中每個元素和行向量中每個元素，相乘並且加起來。我是否可以解讀成方程式是由不同的向量相加，且此向量內涵單位向量以及線性組合?
3. 線性組合，是純數字還是有特別空間或者向量上的意義?

• ccjou says: