線性映射與座標變換

本文的閱讀等級:初級

線性代數的起步從矩陣乘法運算開始。考慮矩陣向量乘法 \mathbf{y}=A\mathbf{x},其中 Am\times n 階矩陣,\mathbf{x}n 維向量,例如:

A=\left[\!\!\begin{array}{cr}    0&-1\\    1&0    \end{array}\!\!\right],~~\mathbf{x}=\begin{bmatrix}    2\\    4    \end{bmatrix}

算式 \mathbf{y}=A\mathbf{x} 有兩個重要的數學意義:線性映射 (或線性變換) 與線性組合。

 
首先有一個來自數學函數的看法,映射或者視為轉換過程其功能類似一般函數,常標記為 T(\mathbf{x}),但要稱作線性映射還必須滿足下面兩個條件:

\begin{aligned}  T(\mathbf{x}+\mathbf{z})&=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{z})\\    T(c\mathbf{x})&=cT(\mathbf{x})\end{aligned}

顯然 T(\mathbf{x})=A\mathbf{x} 確實滿足這兩個要件,第一個觀點就是將 \mathbf{y}=A\mathbf{x} 解釋為線性映射。我們把 \mathbf{x} 當作輸入物件,A 表示映射過程,輸出物件即為 \mathbf{y},以符號表示如下:

\mathbf{x}\xrightarrow[]{~A~}\mathbf{y}

上例的矩陣 A 將平面向量逆時針旋轉 90^{\circ} (參見下圖),就有

\begin{bmatrix}    2\\    4    \end{bmatrix}\xrightarrow[]{~A~}\left[\!\!\begin{array}{r}    -4\\    2    \end{array}\!\!\right]

Linear map

逆時針旋轉 90 度

 
基本線性映射只要稍作修改就可以產生許多變化,如果要同時旋轉多個向量,先收集這些向量組合成一輸入矩陣 X,同樣計算 AX 可得到輸出:

X\xrightarrow[]{~A~}Y

如下圖所示,X 的各行代表房子的端點,旋轉後的房子端點為 Y

\begin{aligned}  Y=AX&=\left[\!\!\begin{array}{cr}    0&-1\\    1&0    \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}    2&3&3&1&1\\    4&3&1&1&3    \end{bmatrix}\\  &=\left[\!\!\begin{array}{rrrrr}    -4&-3&-1&-1&-3\\    2&3&3&1&1    \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

Linear map2

圖形的旋轉

 
實際應用時,複雜的映射過程經常可以拆解為數個連續過程,例如,先對原點鏡射 (以矩陣 B 表示),再以逆時鐘方向旋轉 90^{\circ},過程如下:

\begin{aligned}  \mathbf{x}&\xrightarrow[]{~B~}B\mathbf{x}\xrightarrow[]{~A~}A(B\mathbf{x})\end{aligned}

利用矩陣乘法結合律合併兩個轉換,

\mathbf{x}\xrightarrow[]{~AB~}(AB)\mathbf{x}

合併後的線性變換為

\begin{aligned}  AB&=\left[\!\!\begin{array}{cr}    0&-1\\    1&0    \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rr}    -1&0\\    0&-1    \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{rc}    0&1\\    -1&0    \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

比較 AXAB 的意涵,我們視矩陣 X 為儲存個別向量的物件,矩陣 A 為映射過程,但視 AB 為連續映射過程。通常我們不能單純從數學符號確定矩陣的屬性,即物件或程序,而必須根據問題情境才能釐清其操作上的意義,這也是為何線性代數常令初學者困惑不已的原因之一。

 
更令初學者頭疼的還有另一個數學解釋──座標變換,我們視 \mathbf{y}=A\mathbf{x} 為矩陣 A 的行向量之線性組合,例如:

\begin{aligned}  \mathbf{y}&=A\mathbf{x}=2\begin{bmatrix}    0\\    1    \end{bmatrix}+4\left[\!\!\begin{array}{r}    -1\\    0    \end{array}\!\!\right]\end{aligned}

向量 \mathbf{x} 的元即為組合的權重,這說明了 \mathbf{y} 屬於 A 的行空間 C(A)。繼續延伸,行空間 C(A) 的基底可為 A 的兩個行:

\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}    0\\    1    \end{bmatrix},~\mathbf{v}_2=\left[\!\!\begin{array}{r}    -1\\    0    \end{array}\!\!\right]

因此 \mathbf{y}=x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2 僅有唯一的表示方式,一個新概念於是誕生:向量 \mathbf{y} 參考有序基底 \mathfrak{B}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} 的座標向量即為 \mathbf{x}=(x_1,x_2),或記作 \mathbf{x}=[\mathbf{y}]_{\mathfrak{B}},所以

\mathbf{y}=A[\mathbf{y}]_{\mathfrak{B}}

A 即為有序基底構成的座標變換矩陣,A=\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2\end{bmatrix}。下圖說明了平面上的向量如何表示為基底向量的線性組合。

Coord map

二維空間的線性組合

反向推理,給出 A\mathbf{y},求解方程式 A\mathbf{x}=\mathbf{y} 的意義可能是線性映射或座標變換,也就是問

?\xrightarrow[]{~A~}\mathbf{y}

A[?]_{\mathfrak{B}}=\mathbf{y}

究竟應該選擇哪一個解釋端視所面對的問題情境,這也是初學線性代數者亟需從解決問題當中逐漸培養的能力。

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