有關[排列上三角矩陣的主對角元]

首先 我們再將題目回憶一下 瞭解我們到底要幹麻?

題目: 請自行參考 “排元" 這篇文章.

簡單的說, 任一n\times n 三角矩陣 A, \lambda 為其中一個特徵值, 出現 n-r 次. 我們希望證明 dimN((A-\lambda I)^{n}) = n-r, 也就是證明rank(A-\lambda I)^{n}=r. 當大家完全瞭解題目意思時,會發覺題目要考的是證明三角矩陣的一些特性.

我們已經知道rank(A-\lambda I)=r,要如何推得 rank(A-\lambda I)^{n}=r? 首先將A-\lambda I表示為D+U, D為對角矩陣 ,U 為上三角矩陣且對角軸為0. (A-\lambda I)^{n}=(D+U)^{n}=D^{n}+S+U^{n}, SUD的相乘混合項和.因為DUUD都必為上三角矩陣且對角軸為0. 所以S必為上三角矩陣且對角軸為0. 最後的結果, (A-\lambda I)^{n}=D^{n}+U', U'為上三角矩陣且對角軸為0. 因此rank(A-\lambda I)^{n}=rank(D^{n})=rank(D)=rank(A-\lambda I)=r.

這樣就算證明完畢啦!

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接下來, 我們延續大俠所利用的方法做~大俠看到這個題目要處理的是(A-\lambda I)^{n}, 馬上就想到相似矩陣. 如果能將(A-\lambda I)表示為 M^{-1}KM, 那(A-\lambda I)^{n}=M^{-1}K^{n}M. 如果K的對角軸能夠將0集中在一起, 那我們很容易就可以證明此題(參考排列上三角矩陣的主對角元文章).

所以現在思考另一個問題 我們要如何求出M ,使得 K=M(A-\lambda I)M^{-1} 可以將(A-\lambda I)的對角原素作排序,且仍為上三角矩陣?

參考文章中有提出兩個方法, 但由於很多教材不收入. 是否有更直覺, 更簡單明瞭的方法求得M這個矩陣? 根據參考文章, 原本大俠的想法是希望透過排列矩陣相似, 作為M來求得K. 可惜最後得到的K卻不為上三角矩陣. 其實主要原因是因為上三角元素中, 0不夠多的關係. 我一開始想到的是高斯消去法, 因為高斯消去法中進行列運算的E矩陣可以讓上三角元素多很多0, 這樣是否有機會透過排列矩陣相似得到K? 我測試的結果一定可以. 舉個例子說明:

\begin{bmatrix}  2 & 1 & 2 &3 \\  0 & 0 & 4 & 5\\  0 & 0 & 2 & 6\\  0 & 0 & 0 & 0  \end{bmatrix} 透過高斯消去法可得E\begin{bmatrix}  2 & 1 & 2 &3 \\  0 & 0 & 4 & 5\\  0 & 0 & 2 & 6\\  0 & 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  2 & 1 & 0 &3 \\  0 & 0 & 0 & 5\\  0 & 0 & 2 & 6\\  0 & 0 & 0 & 0    \end{bmatrix} 此矩陣一定可以透過排列矩陣相似得到\begin{bmatrix}  2 & 0 & 1 &3 \\  0 & 2 & 0 & 6\\  0 & 0 & 0 & 5\\  0 & 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}. 所以現在K可表示為ME(A-\lambda I)M^{-1}. 如果可以證明rank((E(A-\lambda I))^{n})=rank(A-\lambda I)^{n}那就算成功了,雖然無法求得M,但還是算解決了問題. 我們知道高斯消去不會改變rank的, 所以rank((E(A-\lambda I)))=rank(A-\lambda I), 但 n 次方後,要如何證明rank仍相等? 坦白說, 豪無頭緒(雖然直覺告訴我一定一樣).

=====================休息一下==================

好吧~事情又回到原點. 到底要如何求出M勒? 在高斯消去法中我學得一件事情:我們可以透過列運算矩陣E矩陣中將某些特定元素變為0 .有沒有可能, 我可以透過列運算矩陣相似, 將某個元素變為0. 即透過E(A-\lambda I)E^{-1}使的上三角元素能變為0的都變為0.答案是有的! 舉例說明: 以剛剛的4*4矩陣為例, 如果我想將(1,2)這個元素變為0, 可執行下列運算

\begin{bmatrix}  1 & x &0 &0 \\  0 & 1 & 0 & 0\\  0 & 0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  2 & 1 & 2 &3 \\  0 & 0 & 4 & 5\\  0 & 0 & 2 & 6\\  0 & 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1 & -x & 0 &0 \\  0 & 1 & 0 & 0\\  0 & 0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  2 & 0 & * &* \\  0 & 0 & * & *\\  0 & 0 & 2 & *\\  0 & 0 & 0 & 0    \end{bmatrix}我們很快就可以得出0x-2x+1=0所以x=0.5.相信讀者很快就可以發覺0為第2行的對角 元素, 2為第1列的對角元素. 也就是說如果想消去(3,4)此元素, 可直接列出式子0x-2x=6而求得E矩陣.另外, 我們會發現當要消除(m,n)此元素,如果m列的對角元素等於n行的對角元素, 就無法消除. EX: 假如我們要消除(1,3), 我們會得到2x-2x+2=0這種矛盾式子. 但這無關緊要, 我們的目的又不是想把所有元素都變成0.到了這一步, 我們還得問一個問題, 當透過E將某元素變為0之後, 是否會同時將另一元素變為非0值? 很有可能, 但我們可以透過某種順序, 例如從第一列的元素開始運算, 就能夠避開這個問題.

所以,透過一系列的E做消除的動作, 最後得到的 E_{m}E_{m-1}...E_{1}(A-\lambda I)E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}...E_{m}^{-1}必為此矩陣形式: \begin{bmatrix}  2 & 0 & * & 0 \\  0 & 0 & 0 & *\\  0 & 0 & 2 & 0\\  0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, 也就是說只剩m列和n行對角元素一樣的(m,n)位置有值, 其餘都為0. 此時,我一定可以用排列矩陣相似的方法將對角軸元素相同的排在一起, 即變成下面的矩陣:\begin{bmatrix}  2 & * & 0 & 0 \\  0 & 2 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 & * \\  0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

此時此刻, 我們的確求出了一組M=PE.所以我們一定可以保證(A-\lambda I)^{n}=M^{-1}K^{n}M這件事情.剩下的事情就和之前相同了, 恕我不再詳敘了.

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