再談克拉瑪公式的證明

本文的閱讀等級:初級

在“克拉瑪公式的證明”一文,我們介紹了一個僅使用矩陣乘法運算和矩陣乘積行列式性質的簡易證明方法。該文提及高中數學教師可能利用向量外積 (cross product,或稱向量積) 來推導三階線性聯立方程的克拉瑪公式,但我們不免好奇如何由三階公式推廣至更高階公式?回答這個疑問的途徑是通過一個稱為「選擇消滅」(selective annihilation) 的數學技巧。

 
我們從二元一次線性聯立方程講起:

\begin{aligned}  a_{11}x_1+a_{12}x_2&=b_1\\    a_{21}x_1+a_{22}x_2&=b_2\end{aligned}

假設 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0,這保證方程式有唯一解。根據克拉瑪公式,滿足方程式的解可以用行列式表示為

x_1=\displaystyle\frac{\begin{vmatrix}    b_1&a_{12}\\    b_2&a_{22}    \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}\\    a_{21}&a_{22}    \end{vmatrix}},~ x_2=\frac{\begin{vmatrix}    a_{11}&b_1\\    a_{21}&b_2    \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}\\    a_{21}&a_{22}    \end{vmatrix}}

 
我們也可以用矩陣方程式 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 描述上面的線性聯立方程,如下:

\begin{bmatrix}    a_{11}&a_{12}\\    a_{21}&a_{22}    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    x_1\\    x_2    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    b_1\\    b_2    \end{bmatrix}

其中 A2\times 2 階係數矩陣,\mathbf{x}\mathbf{b} 分別是二維未知向量和常數向量。矩陣方程式過於簡化並不適合推導方程式解,因此我們轉而考慮下面的向量方程式:

x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2=\mathbf{b}

其中 \mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}    a_{11}\\    a_{21}    \end{bmatrix}\mathbf{a}_2=\begin{bmatrix}    a_{12}\\    a_{22}    \end{bmatrix}。如果要解出變數 x_1,可設法對上式執行某種運算將變數 x_2 所屬的向量 \mathbf{a}_2 消去。利用向量 \mathbf{p}=\left[\!\!\begin{array}{r}    a_{22}\\    -a_{12}    \end{array}\!\!\right]\mathbf{a}_2 正交,亦即 \mathbf{p}\cdot \mathbf{a}_{2}=0,符號 \cdot 代表內積,將向量方程式兩端與 \mathbf{p} 內積,就有

\begin{aligned}  (x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2)\cdot\mathbf{p}&=x_1\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{p}+x_2\mathbf{a}_2\cdot\mathbf{p}\\  &=x_1\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{p}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{p}\end{aligned}

上式中 \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{p}=\mathbf{p}\cdot\mathbf{a}_2=0,於是解出

\begin{aligned}  x_1&=\displaystyle\frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{p}}{\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{p}}=\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}=\frac{\begin{vmatrix}    b_1&a_{12}\\    b_2&a_{22}    \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}\\    a_{21}&a_{22}    \end{vmatrix}}\end{aligned}

同樣道理,藉由消去 \mathbf{a}_1,也可以導出 x_2 的解公式。

 
選擇消滅可以繼續推廣至三階方程系統,考慮這個向量方程式

x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+x_3\mathbf{a}_3=\mathbf{b}

假設 \mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}    a_{11}\\    a_{21}\\    a_{31}    \end{bmatrix}\mathbf{a}_2=\begin{bmatrix}    a_{12}\\    a_{22}\\    a_{32}    \end{bmatrix}\mathbf{a}_3=\begin{bmatrix}    a_{13}\\    a_{23}\\    a_{33}    \end{bmatrix} 是線性獨立的三維向量,對任意 \mathbf{b} 方程式必有唯一解。若要解出變數 x_1,向量方程式兩端必須與什麼向量 \mathbf{p} 內積才能一併消滅 \mathbf{a}_2\mathbf{a}_3?也就是什麼向量 \mathbf{p}\mathbf{a}_2\mathbf{a}_3 都正交?答案是 \mathbf{a}_2\mathbf{a}_3 的外積,記為 \mathbf{p}=\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3,定義如下:

\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3\equiv\begin{vmatrix}    a_{22}&a_{32}\\    a_{23}&a_{33}    \end{vmatrix}\mathbf{e}_1+\begin{vmatrix}    a_{32}&a_{12}\\    a_{33}&a_{13}    \end{vmatrix}\mathbf{e}_2+\begin{vmatrix}    a_{12}&a_{22}\\    a_{13}&a_{23}    \end{vmatrix}\mathbf{e}_3

其中 \mathbf{e}_i 代表三維空間的標準基底。因為矩陣轉置不改變行列式,交換兩列或兩行僅改變行列式正負號,上式也等於

\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3=\begin{vmatrix}    a_{22}&a_{23}\\    a_{32}&a_{33}    \end{vmatrix}\mathbf{e}_1-\begin{vmatrix}    a_{12}&a_{13}\\    a_{32}&a_{33}    \end{vmatrix}\mathbf{e}_2+\begin{vmatrix}    a_{12}&a_{13}\\    a_{22}&a_{23}    \end{vmatrix}\mathbf{e}_3

上式和餘因子 (cofactor) 展開式有一模一樣的形式,因此我們可將外積表示為下面這個陣列對第一行標準基底向量 \mathbf{e}_i 的餘因子展開式:

\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3=\begin{vmatrix}    \mathbf{e}_1&a_{12}&a_{13}\\    \mathbf{e}_2&a_{22}&a_{23}\\    \mathbf{e}_3&a_{32}&a_{33}    \end{vmatrix}

不難驗證任意三維向量 \mathbf{v}=\begin{bmatrix}    v_1\\    v_2\\    v_3    \end{bmatrix}\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 的內積也可以用行列式表示:

\mathbf{v}\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)=\begin{vmatrix}    v_1&a_{12}&a_{13}\\    v_2&a_{22}&a_{23}\\    v_3&a_{32}&a_{33}    \end{vmatrix}

根據上式,再利用矩陣若有相同兩列或相同兩行其行列式為零,可知 \mathbf{a}_2\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)=0\mathbf{a}_3\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)=0,外積 \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 正是由 \mathbf{a}_2\mathbf{a}_3 所擴張出子空間的正交補餘的基底。因此,將給出的向量方程式兩側同時與 \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 內積即可消滅 \mathbf{a}_2\mathbf{a}_3,得到

x_1\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)

解出

x_1=\displaystyle\frac{\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}{ \mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}

上式分子為

\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)=\begin{vmatrix}    b_1&a_{12}&a_{13}\\    b_2&a_{22}&a_{23}\\    b_3&a_{32}&a_{33}    \end{vmatrix}

分母為

\begin{aligned}  \mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)&=\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}&a_{13}\\    a_{21}&a_{22}&a_{23}\\    a_{31}&a_{32}&a_{33}    \end{vmatrix}=\det A\end{aligned}

 
再來我們考慮包含 n 個方程式與n 個變數的線性聯立方程,假設 \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n 是線性獨立向量集,且

x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{b}

若欲解出變數 x_1,如何利用選擇消滅技巧將 \mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3,\ldots,\mathbf{a}_n 一舉消滅?關鍵其實是求向量 \mathbf{p}\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3,\ldots,\mathbf{a}_n 全都正交。很自然地,我們會延伸思考:能否繼續推廣定義於三維向量的外積運算至 n 維向量呢?可以的,方法很簡單,直接將數字 3 改為 n2n 中間再加入一些「\cdots」,如下:

\mathbf{p}=\begin{vmatrix}    \mathbf{e}_1&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\    \mathbf{e}_2&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    \mathbf{e}_n&a_{n2}&\ldots&a_{nn}    \end{vmatrix}

而任意向量 \mathbf{v}\mathbf{p} 的內積則為

\mathbf{v}\cdot\mathbf{p}=\begin{vmatrix}    v_1&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\    v_2&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    v_n&a_{n2}&\ldots&a_{nn}    \end{vmatrix}

顯然,對於 j=2,3,\ldots,n\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{p}=0

 
最後我們考慮求解任意變數 x_i 的情況,設 \mathbf{p}_i 表示為了消滅所有的 \mathbf{a}_j (j\neq i),而與原方程式內積的向量。如果只為了消滅 \mathbf{a}_j (j\neq i),我們並不需要真的計算出 \mathbf{p}_i,可以直接用一個線性函數表示 \mathbf{v}\cdot\mathbf{p}_i

L_i(\mathbf{v})=\det\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_{i-1}&\mathbf{v}&\mathbf{a}_{i+1}&\cdots&\mathbf{a}_n    \end{bmatrix}

對於 j\neq iL_i(\mathbf{a}_j)=0,而對於任何 i=1,2,\ldots,n 都有 L_i(\mathbf{a}_i)=\det A。將向量方程式與 \mathbf{p}_i 內積,使用前述性質便得到

x_iL_i(\mathbf{a}_i)=L_i(\mathbf{b})

亦即

x_i=\displaystyle\frac{L_i(\mathbf{b})}{\det A},~~i=1,2,\ldots,n

此式正是克拉瑪公式,證明完畢。

 
本文參考:
Dan Kalman, Cramer’s Rule via Selective Annihilation, College Mathematics Journal, 18, 136-137, 1987.

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