利用逆矩陣積分

本文的閱讀等級：中級

在“從幾何向量空間到函數空間”一文，我說明了函數空間可視為廣義的向量空間；函數的線性運算，例如微分算子，其實就是定義於向量空間裡的線性變換，而積分則是微分算子的逆變換。只要建立適當的基底，線性變換總是能夠以矩陣乘法運算表示，這暗示以逆矩陣實現積分運算的可能性。

設 $V$ 是連續實函數所形成的向量空間，令 $S$ 為 $V$ 裡面的子空間， $S$ 由 $n$ 個基底函數集 $\mathcal{B}=\{f_1,f_2,\ldots,f_n\}$ 擴張而成。設 $D:S\rightarrow S$ 表示微分算子，而 $n\times n$ 階實矩陣 $A$ 則為微分算子 $D$ 參考基底 $\mathcal{B}$ 的表示矩陣。例如， $\mathcal{B}=\{f_1,f_2\}$ 是子空間 $S$ 的基底，定義如下：

$f_1=e^{at}\sin bt,~ f_2=e^{at}\cos bt$

其中常數 $a$ ， $b$ 不都是零。求兩基底函數的導數，

$\begin{aligned} D(f_1)&=ae^{at}\sin bt+be^{at}\cos bt=af_1+bf_2\\ D(f_2)&=-be^{at}\sin bt+ae^{at}\cos bt=-bf_1+af_2\end{aligned}$

對於 $S$ 裡的任意函數 $f=c_1f_1+c_2f_2$ ，參考基底 $\mathcal{B}$ 的座標向量記為

$[f]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix} c_1\\ c_2 \end{bmatrix}$

利用導數法則 $D(c_1f_1+c_2f_2)=c_1D(f_1)+c_2D(f_2)$ ，就有

$D(f)=c_1(af_1+bf_2)+c_2(-bf_1+af_2)=(ac_1-bc_2)f_1+(bc_1+ac_2)f_2$

上式可表示為座標向量並以矩陣乘法運算，

$[D(f)]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix} ac_1-bc_2\\ bc_1+ac_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&-b\\ b&a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1\\ c_2 \end{bmatrix}=A[f]_{\mathcal{B}}$

這指出參考基底 $\mathcal{B}$ 的導函數表示矩陣為

$A=\begin{bmatrix} a&-b\\ b&a \end{bmatrix}$

矩陣 $A$ 的第 $1$ 行正是 $[D(f_1)]_{\mathcal{B}}$ ，第 $2$ 行則是 $[D(f_2)]_{\mathcal{B}}$ 。關於座標映射和基底變換的詳細介紹，請參見“基底變換”。

計算逆矩陣

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{bmatrix} a&b\\ -b&a \end{bmatrix}$

從已知條件， $a^2+b^2\neq 0$ ， $A^{-1}$ 是參考基底 $\mathcal{B}$ 的積分表示矩陣，也就有

$[D^{-1}(f)]_{\mathcal{B}}=A^{-1}[f]_{\mathcal{B}}$

基底函數 $f_1$ 和 $f_2$ 的積分可分別由 $A^{-1}$ 的第 $1$ ， $2$ 行求得：

$\displaystyle D^{-1}(f_1)=\frac{1}{a^2+b^2}(af_1-bf_2)=\frac{1}{a^2+b^2}(ae^{at}\sin bt-be^{at}\cos bt)$

$\displaystyle D^{-1}(f_2)=\frac{1}{a^2+b^2}(bf_1+af_2) =\frac{1}{a^2+b^2}(be^{at}\sin bt+ae^{at}\cos bt)$

我們再做一個積分練習問題。對於正整數 $n$ ，求問

$\displaystyle\int x^{n}e^{x}dx=?$

先考慮 $n=1$ ，使用部分積分方法，

$\displaystyle\int xe^{x}dx=xe^x-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}$

接著， $n=2$ ，繼續使用部分積分，並且利用上式結果，可得

$\begin{aligned}\displaystyle \int x^{2}e^{x}dx&=x^{2}e^{x}-\int e^{x}d(x^2)=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx\\ &=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}\end{aligned}$

要由兩次積分結果歸納出一般式顯得相當困難，因此我們會繼續嘗試計算 $n=3$ 的積分式，不過事情暫時到此為止，下面我們改用線性代數方法——利用逆矩陣積分。

設基底 $\mathcal{B}$ 包含 $n+1$ 個基底函數， $\mathcal{B}=\{e^x,xe^x,x^2e^x,\ldots,x^ne^x\}$ ，各基底函數的導函數為

$\begin{aligned} D(e^x)&=e^x\\ D(xe^x)&=e^x+xe^x\\ D(x^2e^x)&=2xe^x+x^2e^x\\ &\vdots\\ D(x^ne^x)&=nx^{n-1}e^x+x^ne^x\end{aligned}$

參考基底 $\mathcal{B}$ 的 $(n+1)\times(n+1)$ 階導函數表示矩陣如下：

$A=\begin{bmatrix} 1&1&0&\cdots&0&0&0\\ 0&1&2&\cdots&0&0&0\\ 0&0&1&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1&n-1&0\\ 0&0&0&\cdots&0&1&n\\ 0&0&0&\cdots&0&0&1 \end{bmatrix}$

我們的問題是求 $A^{-1}$ 的最末行，該行即為所求積分式 $x^ne^x$ 參考基底 $\mathcal{B}$ 的座標向量。考慮 $n=5$ 的例子，解方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{e}_6$ 可得 $6\times 6$ 矩陣 $A^{-1}$ 的第 $6$ 行。以高斯消去法化簡增廣矩陣 $\begin{bmatrix} A&\mathbf{e}_6 \end{bmatrix}$ ：

$\begin{bmatrix} 1&1&0&0&0&0&\vline&0\\ 0&1&2&0&0&0&\vline&0\\ 0&0&1&3&0&0&\vline&0\\ 0&0&0&1&4&0&\vline&0\\ 0&0&0&0&1&5&\vline&0\\ 0&0&0&0&0&1&\vline&1 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix} 1&1&0&0&0&0&\vline&0\\ 0&1&2&0&0&0&\vline&0\\ 0&0&1&3&0&0&\vline&0\\ 0&0&0&1&4&0&\vline&0\\ 0&0&0&0&1&0&\vline&-5\\ 0&0&0&0&0&1&\vline&1 \end{bmatrix}$

$\to\begin{bmatrix} 1&1&0&0&0&0&\vline&0\\ 0&1&2&0&0&0&\vline&0\\ 0&0&1&3&0&0&\vline&0\\ 0&0&0&1&0&0&\vline&5\cdot 4\\ 0&0&0&0&1&0&\vline&-5\\ 0&0&0&0&0&1&\vline&1 \end{bmatrix}\to\cdots\to\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&0&\vline&(-1)^55!\\ 0&1&0&0&0&0&\vline&(-1)^45!/1!\\ 0&0&1&0&0&0&\vline&(-1)^35!/2!\\ 0&0&0&1&0&0&\vline&5\cdot 4\\ 0&0&0&0&1&0&\vline&-5\\ 0&0&0&0&0&1&\vline&1 \end{bmatrix}$

由此可歸納得到一般式

$\begin{aligned}\displaystyle \int x^{n}e^{x}dx&=(-1)^nn!(e^x)+(-1)^{n-1}n!(xe^x)+\cdots+n(n-1)(x^{n-2}e^x)-n(x^{n-1}e^x)+(x^ne^x)\\ &=e^x\left[x^n-nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}-\cdots++(-1)^{n-1}n!x+(-1)^nn!\right]\end{aligned}$

求導和積分都是線性變換，而矩陣乘法是線性變換的具體實現，透過矩陣乘法機制很自然地聯繫兩個看似無關的數學領域──線性代數與微積分。我們學習微分方程時，經常發現線性代數的蹤影，其原因即在於此，欲進一步了解微分方程與線性代數相關性的讀者可以參考“從線性代數看微分方程”。

本文參考：
William Swartz, Integration by Matrix Inversion, American Mathematical Monthly, 65, 282-283, 1958.

2 Responses to 利用逆矩陣積分

David says:

11/23/2015 at 11:57 pm

老師請問逆矩陣的微分可以整理出公式嗎?
如d/dt (A^-1) =-1 A^-2 * d/dt A
我知道上面是有問題的
但不知怎麼去想比較好

- ccjou says:
  
  11/24/2015 at 5:55 am
  
  請參考下文(公式MS-6)：
  https://ccjou.wordpress.com/2013/05/31/%E7%9F%A9%E9%99%A3%E5%B0%8E%E6%95%B8/

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