利用逆矩陣積分

本文的閱讀等級:中級

在“從幾何向量空間到函數空間”一文,我說明了函數空間可視為廣義的向量空間;函數的線性運算,例如微分算子,其實就是定義於向量空間裡的線性變換,而積分則是微分算子的逆變換。只要建立適當的基底,線性變換總是能夠以矩陣乘法運算表示,這暗示以逆矩陣實現積分運算的可能性。

 
V 是連續實函數所形成的向量空間,令 SV 裡面的子空間,Sn 個基底函數集 \mathcal{B}=\{f_1,f_2,\ldots,f_n\} 擴張而成。設 D:S\rightarrow S 表示微分算子,而 n\times n 階實矩陣 A 則為微分算子 D 參考基底 \mathcal{B} 的表示矩陣。例如,\mathcal{B}=\{f_1,f_2\} 是子空間 S 的基底,定義如下:

f_1=e^{at}\sin bt,~ f_2=e^{at}\cos bt

其中常數 ab 不都是零。求兩基底函數的導數,

\begin{aligned}  D(f_1)&=ae^{at}\sin bt+be^{at}\cos bt=af_1+bf_2\\    D(f_2)&=-be^{at}\sin bt+ae^{at}\cos bt=-bf_1+af_2\end{aligned}

對於 S 裡的任意函數 f=c_1f_1+c_2f_2,參考基底 \mathcal{B} 的座標向量記為

[f]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}    c_1\\    c_2    \end{bmatrix}

利用導數法則 D(c_1f_1+c_2f_2)=c_1D(f_1)+c_2D(f_2),就有

D(f)=c_1(af_1+bf_2)+c_2(-bf_1+af_2)=(ac_1-bc_2)f_1+(bc_1+ac_2)f_2

上式可表示為座標向量並以矩陣乘法運算,

[D(f)]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}    ac_1-bc_2\\    bc_1+ac_2    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    a&-b\\    b&a    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    c_1\\    c_2    \end{bmatrix}=A[f]_{\mathcal{B}}

這指出參考基底 \mathcal{B} 的導函數表示矩陣為

A=\begin{bmatrix}    a&-b\\    b&a    \end{bmatrix}

矩陣 A 的第 1 行正是 [D(f_1)]_{\mathcal{B}},第 2行則是 [D(f_2)]_{\mathcal{B}}。關於座標映射和基底變換的詳細介紹,請參見“基底變換”。

 
計算逆矩陣

\displaystyle  A^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{bmatrix}    a&b\\    -b&a    \end{bmatrix}

從已知條件,a^2+b^2\neq 0A^{-1} 是參考基底 \mathcal{B} 的積分表示矩陣,也就有

[D^{-1}(f)]_{\mathcal{B}}=A^{-1}[f]_{\mathcal{B}}

基底函數 f_1f_2 的積分可分別由 A^{-1} 的第 12 行求得:

\displaystyle  D^{-1}(f_1)=\frac{1}{a^2+b^2}(af_1-bf_2)=\frac{1}{a^2+b^2}(ae^{at}\sin bt-be^{at}\cos bt)

\displaystyle  D^{-1}(f_2)=\frac{1}{a^2+b^2}(bf_1+af_2) =\frac{1}{a^2+b^2}(be^{at}\sin bt+ae^{at}\cos bt)

 
我們再做一個積分練習問題。對於正整數 n,求問

\displaystyle\int x^{n}e^{x}dx=?

先考慮 n=1,使用部分積分方法,

\displaystyle\int xe^{x}dx=xe^x-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}

接著,n=2,繼續使用部分積分,並且利用上式結果,可得

\begin{aligned}\displaystyle  \int x^{2}e^{x}dx&=x^{2}e^{x}-\int e^{x}d(x^2)=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx\\    &=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}\end{aligned}

要由兩次積分結果歸納出一般式顯得相當困難,因此我們會繼續嘗試計算 n=3 的積分式,不過事情暫時到此為止,下面我們改用線性代數方法——利用逆矩陣積分。

 
設基底 \mathcal{B} 包含 n+1 個基底函數,\mathcal{B}=\{e^x,xe^x,x^2e^x,\ldots,x^ne^x\},各基底函數的導函數為

\begin{aligned}  D(e^x)&=e^x\\    D(xe^x)&=e^x+xe^x\\    D(x^2e^x)&=2xe^x+x^2e^x\\    &\vdots\\    D(x^ne^x)&=nx^{n-1}e^x+x^ne^x\end{aligned}

參考基底 \mathcal{B}(n+1)\times(n+1) 階導函數表示矩陣如下:

A=\begin{bmatrix}    1&1&0&\cdots&0&0&0\\    0&1&2&\cdots&0&0&0\\    0&0&1&\cdots&0&0&0\\    \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\    0&0&0&\cdots&1&n-1&0\\    0&0&0&\cdots&0&1&n\\    0&0&0&\cdots&0&0&1    \end{bmatrix}

我們的問題是求 A^{-1} 的最末行,該行即為所求積分式 x^ne^x 參考基底 \mathcal{B} 的座標向量。考慮 n=5 的例子,解方程式 A\mathbf{x}=\mathbf{e}_6 可得 6\times 6 矩陣 A^{-1} 的第 6 行。以高斯消去法化簡增廣矩陣 \begin{bmatrix}    A&\mathbf{e}_6    \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}    1&1&0&0&0&0&\vline&0\\    0&1&2&0&0&0&\vline&0\\    0&0&1&3&0&0&\vline&0\\    0&0&0&1&4&0&\vline&0\\    0&0&0&0&1&5&\vline&0\\    0&0&0&0&0&1&\vline&1    \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}    1&1&0&0&0&0&\vline&0\\    0&1&2&0&0&0&\vline&0\\    0&0&1&3&0&0&\vline&0\\    0&0&0&1&4&0&\vline&0\\    0&0&0&0&1&0&\vline&-5\\    0&0&0&0&0&1&\vline&1    \end{bmatrix}

\to\begin{bmatrix}    1&1&0&0&0&0&\vline&0\\    0&1&2&0&0&0&\vline&0\\    0&0&1&3&0&0&\vline&0\\    0&0&0&1&0&0&\vline&5\cdot 4\\    0&0&0&0&1&0&\vline&-5\\    0&0&0&0&0&1&\vline&1    \end{bmatrix}\to\cdots\to\begin{bmatrix}    1&0&0&0&0&0&\vline&(-1)^55!\\    0&1&0&0&0&0&\vline&(-1)^45!/1!\\    0&0&1&0&0&0&\vline&(-1)^35!/2!\\    0&0&0&1&0&0&\vline&5\cdot 4\\    0&0&0&0&1&0&\vline&-5\\    0&0&0&0&0&1&\vline&1    \end{bmatrix}

由此可歸納得到一般式

\begin{aligned}\displaystyle  \int x^{n}e^{x}dx&=(-1)^nn!(e^x)+(-1)^{n-1}n!(xe^x)+\cdots+n(n-1)(x^{n-2}e^x)-n(x^{n-1}e^x)+(x^ne^x)\\    &=e^x\left[x^n-nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}-\cdots++(-1)^{n-1}n!x+(-1)^nn!\right]\end{aligned}

 
求導和積分都是線性變換,而矩陣乘法是線性變換的具體實現,透過矩陣乘法機制很自然地聯繫兩個看似無關的數學領域──線性代數與微積分。我們學習微分方程時,經常發現線性代數的蹤影,其原因即在於此,欲進一步了解微分方程與線性代數相關性的讀者可以參考“從線性代數看微分方程”。

 
本文參考:
William Swartz, Integration by Matrix Inversion, American Mathematical Monthly, 65, 282-283, 1958.

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2 Responses to 利用逆矩陣積分

  1. David 說道:

    老師 請問逆矩陣的微分可以整理出公式嗎?
    如d/dt (A^-1) =-1 A^-2 * d/dt A
    我知道上面是有問題的
    但不知怎麼去想比較好

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