矩陣和之行列式 (上)

本文的閱讀等級:中級

A=[a_{ij}]B=[b_{ij}]n\times n 階矩陣。矩陣乘積 AB 的行列式存在一個優美的公式

\det(AB)=(\det A)(\det B)

但矩陣和 A+B 的行列式卻沒有對應的簡潔公式。考慮 2\times 2 階矩陣,行列式對於任一列都是線性函數,我們可將 \det(A+B) 展開:

\begin{aligned}  \det(A+B)&=\begin{vmatrix}    a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\    a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}    \end{vmatrix}\\    &=\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}\\    a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}    \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}    b_{11}&b_{12}\\    a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}    \end{vmatrix}\\    &=\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}\\    a_{21}&a_{22}    \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}\\    b_{21}&b_{22}    \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}    b_{11}&b_{12}\\    a_{21}&a_{22}    \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}    b_{11}&b_{12}\\    b_{21}&b_{22}    \end{vmatrix}\end{aligned}

上式指出對於 n 階行列式,\det(A+B) 可以表示為 n^n 個行列式之和,其中各個行列式的每列由 AB 的對應列複製得來,這解釋了為何矩陣和之行列式不存在簡單的化約公式。

 
雖然一般 n\times n 階矩陣 A+B 的行列式沒有簡約公式,但若 A 是可逆矩陣,且 B=UV^T,其中 UVn\times m 階矩陣,矩陣行列式引理 (matrix determinant lemma) 給出下面的公式:

\det\left(A+UV^T\right)=\det\left(I_m+V^TA^{-1}U\right)(\det A)

m=1 時,U=\mathbf{u}V=\mathbf{v}n 維行向量,上式可表示成

\det\left(A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T\right)=\left(1+\mathbf{v}^TA^{-1}\mathbf{u}\right)(\det A)

乘開上式,並代入伴隨 (adjugate) 矩陣關係式

A(\mathrm{adj}A)=(\det A)I

上式中 \mathrm{adj}A 表示 A 的伴隨矩陣,A 是可逆矩陣,因此有

\mathrm{adj}A=(\det A)A^{-1}

所以

\det\left(A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T\right)=\det A+\mathbf{v}^T(\mathrm{adj}A)\mathbf{u}

此式可應用於計算特殊形式的行列式,下文將詳細說明。

 
矩陣行列式引理的推導過程延伸我們在“每週問題 June 29, 2009”所使用的分塊矩陣運算技巧。首先,我們需要下面這個精心設計的分塊矩陣乘法

\begin{bmatrix}    A^{-1}&0\\    V^TA^{-1}&I_m    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    A&U\\    -V^T&I_m    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    I_n&A^{-1}U\\    0&I_m+V^TA^{-1}U    \end{bmatrix}

矩陣乘積的行列式等於矩陣行列式的乘積,故

\begin{vmatrix}    A^{-1}&0\\    V^TA^{-1}&I_m    \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}    A&U\\    -V^T&I_m    \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}    I_n&A^{-1}U\\    0&I_m+V^TA^{-1}U    \end{vmatrix}

利用分塊三角矩陣其行列式等於主對角分塊行列式乘積 (請參考“利用分塊矩陣證明 det(AB)=(det A)(det B)”),因此得知

\begin{vmatrix}    A^{-1}&0\\    V^TA^{-1}&I_m    \end{vmatrix}=\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}

\begin{vmatrix}    I_n&A^{-1}U\\    0&I_m+V^TA^{-1}U    \end{vmatrix}=\det\left(I_m+V^TA^{-1}U\right)

將此結果代入先前關係式即得

\begin{vmatrix}    A&U\\    -V^T&I_m    \end{vmatrix}=\det\left(I_m+V^TA^{-1}U\right)(\det A)

 
為了產生 A+UV^T,我們再設計另一個分塊矩陣乘法:

\begin{bmatrix}    A&U\\    -V^T&I_m    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    I_n&0\\    V^T&I_m    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    A+UV^T&U\\    0&I_m    \end{bmatrix}

因為

\begin{vmatrix}    I_n&0\\    V^T&I_m    \end{vmatrix}=1

\begin{vmatrix}    A+UV^T&U\\    0&I_m    \end{vmatrix}=\det\left(A+UV^T\right)

再利用前面結果可推得

\begin{aligned}  \det\left(A+UV^T\right)&=\begin{vmatrix}    A^{-1}&U\\    -V^T&I_m    \end{vmatrix}=\det\left(I_m+V^TA^{-1}U\right)(\det A)\end{aligned}

證畢。

 
最後我們討論矩陣行列式引理的延伸,設 A=I_n,就有

\begin{aligned}  \det\left(I_n+UV^T\right)&=\det\left(I_m+V^TI_n^{-1}U\right)(\det I_n)\\  &=\det\left(I_m+V^TU\right)\end{aligned}

這個結果稱為 Sylvester 行列式定理,由英國數學家西爾維斯特 (James Joseph Sylvester) 於 1857 年首次提出,但他並未給出證明。下例說明 Sylvester 行列式定理於計算行列式的應用。考慮 n\times n 階矩陣 A 的行列式

\det A=\begin{vmatrix}    2&1&\cdots&1\\    1&2&\cdots&1\\    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    1&1&\cdots&2    \end{vmatrix}

U=V=\begin{bmatrix}    1\\    1\\    \vdots\\    1    \end{bmatrix},套用 Sylvester 行列式定理,立得 \det A=1+V^TU=n+1

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