矩陣和之行列式 (下)

本文的閱讀等級:中級

在“矩陣和之行列式 (上)”,我們介紹了矩陣行列式引理,簡述如下。設 An\times n 階矩陣,\mathbf{u}\mathbf{v}n 維向量,對於形式為 A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T 的矩陣,有下面這個行列式計算公式:

\det(A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T)=\det A+\mathbf{v}^T(\mathrm{adj}A)\mathbf{u}

上式中 \mathrm{adj}AA 的伴隨矩陣。下面我們討論一些具有 A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T 形式的矩陣,並利用矩陣行列式引理計算其行列式。

 
例一

\begin{vmatrix}    1&n&n&\cdots&n&n\\    n&2&n&\cdots&n&n\\    n&n&3&\cdots&n&n\\    \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\    n&n&n&\cdots&n-1&n\\    n&n&n&\cdots&n&n    \end{vmatrix}

上面的 n\times n 階矩陣可表示為

A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T=\mathrm{diag}(1-n,2-n,3-n,\ldots,-1,0)+nE

其中 \mathrm{diag} 表示對角矩陣,括弧內的數列為其主對角元,矩陣 E 的每個元皆為 1。我們設 A=\mathrm{diag}(1-n,2-n,\ldots,-1,0)\mathbf{u}=n\mathbf{e}\mathbf{v}=\mathbf{e},向量 \mathbf{e} 的每個元都是 1,因此 E=\mathbf{e}\mathbf{e}^T。對角矩陣的行列式即為其主對角元的乘積,所以

\begin{aligned}  \det A&=(1-n)\cdots(-1)0=0\end{aligned}

伴隨矩陣 \mathrm{adj}A 也是對角矩陣,且 (\mathrm{adj}A)_{ii}=0i=1,2,\ldots,n-1,而 (\mathrm{adj}A)_{nn}=(1-n)(2-n)\cdots(-1)=(-1)^{n-1}(n-1)!,所以

\det(\mathrm{diag}(1-n,2-n,\ldots,-1,0)+nE)=(-1)^{n-1}n!

 
例二

\begin{vmatrix}    1&1&1&\cdots&1&0\\    1&1&1&\cdots&0&1\\    1&1&1&\cdots&1&1\\    \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\    1&0&1&\cdots&1&1\\    0&1&1&\cdots&1&1    \end{vmatrix}

上面的 n\times n 階矩陣可表示為

A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T=-R+E

其中 E 與例一同,R=[r_{ij}] 表示“反向單位矩陣”,其實也就是反向排列矩陣,r_{i,n-i+1}=1i=1,2,\ldots,n,其他為零元。對 R 執行 t=\lfloor n/2\rfloor (即 n/2 的整數部分) 次列交換可得到單位矩陣 I,故 \mathrm{det}R=(-1)^{t}。又因為 R^2=I,就有 R^{-1}=R。利用伴隨矩陣關係式

R(\mathrm{adj}R)=(\det R)I

同時左乘 R^{-1},就有

\begin{aligned}  \mathrm{adj}R&=(\det R)R^{-1}=(-1)^tR\end{aligned}

再將 R 替換為 -R,計算

\begin{aligned}  \mathrm{adj}(-R)&=\det(-R)(-R)^{-1}\\  &=(-1)^{n+1}(\det R)R^{-1}\\  &=(-1)^{n+1}(-1)^{t}R\\  &=(-1)^{n+t+1}R\end{aligned}

利用已知公式計算給出的行列式,如下:

\begin{aligned}  \det(-R+E)&=\det(-R)+\mathbf{e}^T\mathrm{adj}(-R)\mathbf{e}\\  &=(-1)^{n+t}+(-1)^{n+t+1}\mathbf{e}^TR\mathbf{e}\\  &=(-1)^{n+t}+(-1)^{n+t+1}n\\  &=(-1)^{n+t}(1-n)\end{aligned}

請讀者自行驗證 (-1)^{n+t}=(-1)^{n(n+1)/2},故上式亦可寫為

\det(-R+E)=(-1)^{n(n+1)/2}(1-n)

 
例三

\begin{vmatrix}    1&2&3&\cdots&n-1&n+1\\    2&4&6&\cdots&2(n-1)+1&2n\\    3&6&9&\cdots&3(n-1)&3n\\    \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\    n-1&2(n-1)+1&3(n-1)&\cdots&(n-1)^2&n(n-1)\\    n+1&2n&3n&\cdots&n(n-1)&n^2    \end{vmatrix}

此矩陣可表示成

A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T=R+P

其中 R 與例二相同,P=[p_{ij}]p_{ij}=ij,又 P=\mathbf{u}\mathbf{v}^T,且 \mathbf{u}=\mathbf{v}=\begin{bmatrix}    1&2&\cdots&n    \end{bmatrix}^T。代入矩陣和之行列式公式計算

\begin{aligned}  \det(R+P)&=\det R+\mathbf{u}^T(\mathrm{adj}R)\mathbf{v}\\  &=(-1)^t+(-1)^{t}\mathbf{u}^TR\mathbf{u}\\  &=\displaystyle(-1)^t\left(1+\sum_{k=1}^nk(n-k+1)\right)\end{aligned}

操作代數運算化簡得

\displaystyle\sum_{k=1}^nk(n-k+1)=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)

最後算出

\det(R+P)=\displaystyle(-1)^t\left(1+\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)\right)

 
例四

f(x)=\begin{vmatrix}    x+1&x^2&x^3&\cdots&x^{n-1}&x^n\\    x^2&x^3+1&x^4&\cdots&x^n&x^{n+1}\\    x^3&x^4&x^5+1&\cdots&x^{n+1}&x^{n+2}\\    \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\    x^{n-1}&x^{n}&x^{n+1}&\cdots&x^{2n-3}+1&x^{2n-2}\\    x^n&x^{n+1}&x^{n+2}&\cdots&x^{2n-2}&x^{2n-1}+1    \end{vmatrix}

將此矩陣表示如下:

A+\mathbf{u}\mathbf{v}^T=I+B

上式中 B=x\mathbf{u}\mathbf{u}^T\mathbf{u}=\begin{bmatrix}    1&x&x^2&\cdots&x^{n-1}    \end{bmatrix}^T\mathbf{v}=x\mathbf{u}。代入公式可得

\begin{aligned}  f(x)&=1+x\mathbf{u}^T\mathbf{u}=1+x\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{2k}=1+\sum_{k=0}^{n-1}x^{2k+1}\end{aligned}

 
本文參考:
Marvin Marcus, Determinants of Sums, College Mathematics Journal, 21, 130-135, 1990.

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