Cayley-Hamilton 定理的一個代數證明方法

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Cayley-Hamilton 定理是線性代數理論中的一個重要定理。設 為 階矩陣 的特徵多項式，同樣形式的矩陣多項式滿足 ，即 為零矩陣。“Cayley-Hamilton 定理”一文曾經以矩陣三角化程序證明此定理，這篇短文介紹一個簡潔的矩陣代數證明方法，主要關鍵在於引入伴隨 (adjugate) 矩陣並發揮矩陣運算技巧。

 
以 取代常用的特徵值符號 (有一些書本使用符號 ，這麼做的原因是為了強調 是多項式的變數，而 則是多項式的根)，設 ，矩陣 的特徵多項式為

注意， 階矩陣的特徵多項式其最高階數為 ，故可設

證明的第一步是引用矩陣 與其伴隨矩陣 的重要性質：

上式也可以表示為

我們稱上式為主要關係式。

 
第二個步驟是解析伴隨矩陣， 的 元定義為

上式中 表示移除 的第 列與第 行後得到的 階子陣 (submatrix)，故 的每個元皆為 的多項式，最高階至多為 。因此我們可將 表示為 的多項式，如下：

其中係數矩陣 ，，都是常數。

 
整理前述主要關係式，等號左邊是

等號右邊是

分別乘開，比較等號兩邊相同項次的係數矩陣，可得

接下來是最精采的部份，將第 式右乘 ，第 式右乘 ，以此類推，最末式右乘 ，再分別加總等號兩端，不難檢查等號左邊矩陣和為零，等號右邊和為

因此證明了 Cayley-Hamilton 定理 。

 
這個採用直接計算的代數證明宛如曲折離奇的電影情節，讓人嘆為觀止。在證出定理的前一秒鐘，邁向終點的路線被一扇封印的門所阻，而開啟此門的秘密鑰其實就烙在我們要證明的 Cayley-Hamilton 定理中。

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