特殊矩陣 (8)：Vandermonde 矩陣

$A_n=\begin{bmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1} \end{bmatrix}$

$\det A_2=\begin{vmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2 \end{vmatrix}=x_2-x_1$

\begin{aligned} \det A_3&=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2\\ 1&x_2&x_2^2\\ 1&x_3&x_3^2 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2\\ 0&x_2-x_1&x_2^2-x_1^2\\ 0&x_3-x_1&x_3^2-x_1^2 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x_2-x_1&x_2^2-x_1^2\\ x_3-x_1&x_3^2-x_1^2 \end{vmatrix}\\ &=(x_2-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_1).\end{aligned}

$\det A_n=\displaystyle\prod_{1\le j

$\det A_k=\displaystyle\prod_{1\le j

$f(x)=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{k}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{k}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_k&x_k^2&\cdots&x_k^{k}\\ 1&x&x^2&\cdots&x^{k} \end{vmatrix}$

$f(x)=\alpha(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_k)$

$\alpha=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{k-1}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{k-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_k&x_k^2&\cdots&x_k^{k-1} \end{vmatrix}$

$f(x)=\displaystyle\left[\prod_{1\le j

$\det A_{k+1}=\displaystyle\left[\prod_{1\le j

$\det A_{k+1}=\displaystyle\prod_{1\le j

Vandermonde 矩陣常見於數值分析的內插 (interpolation) 問題。給出 $n$ 個資料點 $(x_i,y_i)$$i=1,2,\ldots,n$，求 $(n-1)$ 次多項式

$p(x)=a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0$

\begin{aligned} p(x_1)&=a_0+a_1x_1+\cdots+a_{n-1}x_1^{n-1}=y_1\\ p(x_2)&=a_0+a_1x_2+\cdots+a_{n-1}x_2^{n-1}=y_2\\ &\vdots\\ p(x_n)&=a_0+a_1x_n+\cdots+a_{n-1}x_n^{n-1}=y_n.\end{aligned}

$L_i(x)=\displaystyle\frac{\prod_{j=1,j\neq i}^n(x-x_j)}{\prod_{j=1,j\neq i}^n(x_i-x_j)},~~i=1,2,\ldots,n$

$p(x)=y_1L_1(x)+y_2L_2(x)+\cdots+y_nL_n(x)$

This entry was posted in 特殊矩陣, 線性代數專欄 and tagged , , , . Bookmark the permalink.

10 Responses to 特殊矩陣 (8)：Vandermonde 矩陣

1. VtripleV says:

對一個有限長度取樣信號sequence x(n) ,n=0…N-1, 對該訊號取fourier transform => X(e^jw)=x(0)+x(1)e^(-jw)+…+X(N-1)e^(-j(N-1)w)
上式的LHS基本上可以視為e^(-jw)的N-1次多項式，有N個係數，所以該N-1次多項式由N個係數唯一決定，或是從此N-1次多項式函數中N個相異的取樣值決定(在time-space(or domain)或是w-space(domain)取樣)。也就是可以對X(e^jw)函數於w-space進行N點取樣,就足夠描述X(e^jw), 於是 X(e^jw) sample X(e^jw) at N points==> X(e^jwk),k=0…N-1,簡單的取樣就是2pi等N分取樣， 於是就誕生了DFT X(k)=DFT[x(n)], DFT矩陣跟反矩陣正好是Vandermonde 矩陣長像.

2. ccjou says:

最近垃圾分檢系統常有誤判情況，我將請管理員研究改善方案。

3. vtriplev says:

P^0=P^N=I (對應於W^0=W^N=1)
複數跟矩陣性質真的好類似啊

4. ccjou says:
5. 熊大帥 says:

好複雜，我只是預習高二下範圍，上網找資料，只是好複雜，還是死記等人教到再聽如何證的好了

6. 陳易聖 says:

請問這是否也是最小平方法的求法呢？

• ccjou says:

你是說上文的內插問題嗎？給出n個資料點(限制條件)，n-1次多項式有n個係數(未知數)，因此有唯一解，不需要使用最小平方法求近似解。

7. fabo says:

我們要證明 k+1 階 Vandermonde 行列式也有相同的形式。
您好:
想請問這裡的f(x)的問題。
我覺得f(x)應該不只是x的函數吧，應該還有x1,x2,x3….等，所以f(x)=a(x-x1)….(x-xk)應該不只這樣吧，譬如說還有(x1-x2)等，也就是f(x)=a(x-x1)…(x-xk)(x1-x2)之類的。
想問問為甚麼可以只寫成f(x)為x的函數，因為這個行列式應該同時也是x1,x2,…,xk的函數吧?

8. pinjie wu says:

老師您好，感謝分享如此多的資訊！

想請教老師：
「我們要證明 k+1 階 Vandermonde 行列式也有相同的形式。將 A_{k+1} 的最末列替換為 1, x, x^2,\ldots, x^{k}，設此矩陣的行列式為 f(x)，亦即………由最末列的餘因子展開式可知 f 為變數 x 的 k 次多項式。若矩陣有相同的兩列，其行列式等於零，故 f(x_i)=0，i=1,2,\ldots,k，也就是說 x_i，i=1,2,\ldots,k，為多項式 f(x) 的 k 個根，」

用這個證法，則最後一列會變成「行列式等於零」，這樣整個Vandermonde 行列式就等於0了，為什麼還要繼續證明下去呢？謝謝！

9. 偉晨 says:

回覆給上面的同學，老師的目的是證明當給你n個相異點時你所製造出來的Vandermonde是可逆矩陣，而我們只是利用歸納法並將最後項先假設是x以便你可以看出他帶某些值整個行列式是如何影響