特殊矩陣 (8)：Vandermonde 矩陣

$A_n=\begin{bmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1} \end{bmatrix}$

$\det A_2=\begin{vmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2 \end{vmatrix}=x_2-x_1$

\begin{aligned} \det A_3&=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2\\ 1&x_2&x_2^2\\ 1&x_3&x_3^2 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2\\ 0&x_2-x_1&x_2^2-x_1^2\\ 0&x_3-x_1&x_3^2-x_1^2 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x_2-x_1&x_2^2-x_1^2\\ x_3-x_1&x_3^2-x_1^2 \end{vmatrix}\\ &=(x_2-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_1).\end{aligned}

$\det A_n=\displaystyle\prod_{1\le j

$\det A_k=\displaystyle\prod_{1\le j

$f(x)=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{k}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{k}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_k&x_k^2&\cdots&x_k^{k}\\ 1&x&x^2&\cdots&x^{k} \end{vmatrix}$

$f(x)=\alpha(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_k)$

$f(x)$ 的餘因子展開式可得到 $x^{k}$ 的係數，也就是 $\alpha$ 的值，

$\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{k-1}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{k-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_k&x_k^2&\cdots&x_k^{k-1} \end{vmatrix}$

$f(x)=\displaystyle\left[\prod_{1\le j

$\det A_{k+1}=\displaystyle\left[\prod_{1\le j

$\det A_{k+1}=\displaystyle\prod_{1\le j

Vandermonde 矩陣常見於數值分析的內插 (interpolation) 問題。給出 $n$ 個資料點 $(x_i,y_i)$$i=1,2,\ldots,n$，求 $(n-1)$ 次多項式

$p(x)=a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0$

\begin{aligned} p(x_1)&=a_0+a_1x_1+\cdots+a_{n-1}x_1^{n-1}=y_1\\ p(x_2)&=a_0+a_1x_2+\cdots+a_{n-1}x_2^{n-1}=y_2\\ &\vdots\\ p(x_n)&=a_0+a_1x_n+\cdots+a_{n-1}x_n^{n-1}=y_n.\end{aligned}

$L_i(x)=\displaystyle\frac{\prod_{j=1,j\neq i}^n(x-x_j)}{\prod_{j=1,j\neq i}^n(x_i-x_j)},~~i=1,2,\ldots,n$

$p(x)=y_1L_1(x)+y_2L_2(x)+\cdots+y_nL_n(x)$

7 Responses to 特殊矩陣 (8)：Vandermonde 矩陣

1. VtripleV 說道：

對一個有限長度取樣信號sequence x(n) ,n=0…N-1, 對該訊號取fourier transform => X(e^jw)=x(0)+x(1)e^(-jw)+…+X(N-1)e^(-j(N-1)w)
上式的LHS基本上可以視為e^(-jw)的N-1次多項式，有N個係數，所以該N-1次多項式由N個係數唯一決定，或是從此N-1次多項式函數中N個相異的取樣值決定(在time-space(or domain)或是w-space(domain)取樣)。也就是可以對X(e^jw)函數於w-space進行N點取樣,就足夠描述X(e^jw), 於是 X(e^jw) sample X(e^jw) at N points==> X(e^jwk),k=0…N-1,簡單的取樣就是2pi等N分取樣， 於是就誕生了DFT X(k)=DFT[x(n)], DFT矩陣跟反矩陣正好是Vandermonde 矩陣長像.

2. ccjou 說道：

最近垃圾分檢系統常有誤判情況，我將請管理員研究改善方案。

3. vtriplev 說道：

P^0=P^N=I (對應於W^0=W^N=1)
複數跟矩陣性質真的好類似啊

4. ccjou 說道：
5. 熊大帥 說道：

好複雜，我只是預習高二下範圍，上網找資料，只是好複雜，還是死記等人教到再聽如何證的好了

6. 陳易聖 說道：

請問這是否也是最小平方法的求法呢？

• ccjou 說道：

你是說上文的內插問題嗎？給出n個資料點(限制條件)，n-1次多項式有n個係數(未知數)，因此有唯一解，不需要使用最小平方法求近似解。