特徵多項式蘊藏的訊息

本文的閱讀等級：中級

設 $n\times n$ 階矩陣 $A$ 的特徵值 $\lambda$ ，對應的特徵向量 $\mathbf{x}$ 滿足特徵方程式 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ 。基礎線性代數主張的求解步驟是將特徵方程式寫為

$(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$

我們要求特徵向量 $\mathbf{x}$ 不得為零向量，意指 $A-\lambda I$ 是不可逆的，因此

$\det(A-\lambda I)=0$

特徵值 $\lambda$ 即為上式的解。定義矩陣 $A$ 的特徵多項式為

$p(t)=\det(A-tI)$

我們以 $t$ 取代 $\lambda$ 的原因是強調 $t$ 是多項式的變數，而特徵值 $\lambda$ 則為 $p(t)$ 的根。有些教科書定義特徵多項式為 $\mathrm{det}(tI-A)$ ，如此一來， $p(t)$ 的領先項 $t^n$ 的係數為 $1$ 。針對給定的 $n\times n$ 階矩陣 $A$ ， $p(t)=\mathrm{det}(A-tI)$ 可展開為 $(-t)$ 的 $n$ 次多項式，如下：

$p(t)=(-t)^n+a_{n-1}(-t)^{n-1}+\cdots+a_1(-t)+a_0$

特徵多項式 $p(t)$ 的係數 $a_{i}$ ， $i=0,1,\ldots,n-1$ ，和矩陣 $A$ 有什麼關係？它們又與 $A$ 的特徵值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 有何關聯？本文將回答這兩個問題。

我們估計經由推算 $3\times 3$ 階矩陣的特徵多項式便足以觀察出一般形式。考慮

$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$

其特徵多項式為

$p(t)=\begin{vmatrix} a_{11}-t&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}-t&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-t \end{vmatrix}$

行列式對於各列 (或行) 是線性的，利用這個性質可將第一列分解：

$p(t)=\begin{vmatrix} -t&0&0\\ a_{21}&a_{22}-t&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-t \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}-t&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-t \end{vmatrix}$

分別對上面兩個行列式的第二列分解，就有

$p(t)=\begin{vmatrix} -t&0&0\\ 0&-t&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-t \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -t&0&0\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-t \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 0&-t&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-t \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}-t \end{vmatrix}$

繼續再對這四個行列式的第三列分解便得到 $2^3=8$ 個行列式：

$\begin{aligned} p(t)&=\begin{vmatrix} -t&0&0\\ 0&-t&0\\ 0&0&-t \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -t&0&0\\ 0&-t&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -t&0&0\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ 0&0&-t \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -t&0&0\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\ &+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 0&-t&0\\ 0&0&-t \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 0&-t&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ 0&0&-t \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\end{aligned}$

以餘因子展開計算，整理項次後得到

$\begin{aligned} p(t)=(-t)^3&+(-t)^2(a_{11}+a_{22}+a_{33})+(-t)\left(\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\right)\\ &+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\end{aligned}$

上面推導出的特徵多項式係數浮現一種模式，此模式與 $A$ 的主子陣 (principal submatrix) 之行列式相關。保留 $A$ 中 $k$ 個相同的列指標與行指標可得到一個 $k\times k$ 階主子陣，而此主子陣的行列式稱為 $k$ 階主餘子式 (principal minor)。對於 $n$ 階方陣 $A=[a_{ij}]$ ，總計有 $\binom{n}{k}$ 個 $k$ 階主餘子，令 $E_k(A)$ 表示這些 $k$ 階主餘子之和，其中比較特別的是

$E_1(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\mathrm{trace}A$

且 $E_n(A)=\mathrm{det}A$ 。利用主餘子記號，特徵多項式可表示為

$p(t)=(-t)^n+E_1(A)(-t)^{n-1}+E_2(A)(-t)^{n-2}+\cdots+E_{n-1}(-t)+E_n(A)$

若 $A$ 為不可逆矩陣， $\mathrm{det}A=0$ ，特徵多項式的常數項 $E_n(A)$ 為零。

繼續研究第二個問題：特徵多項式的係數與其根，也就是特徵值，有什麼關係？使用初等代數便能夠完整的回答此問題。設 $A$ 的 $n$ 個特徵值為 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ，它們可能重複或為共軛複數。由代數基本定理，特徵多項式必可分解為

$p(t)=(\lambda_1-t)(\lambda_2-t)\cdots(\lambda_n-t)$

如果一時看不出展開模式，不妨乘開 $3$ 次特徵多項式：

$\begin{aligned} p(t)&=(\lambda_1-t)(\lambda_2-t)(\lambda_3-t)\\ &=(-t)^3+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)(-t)^2+(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)(-t)+\lambda_1\lambda_2\lambda_3\end{aligned}$

觀察係數的變化關係不難歸納出下面這個定義：集合 $L=\{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\}$ 的 $k$ 次， $k\le n$ ，基本對稱函數 (elementary symmetric function) 設為

$S_k(L)=\displaystyle\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n}\prod_{j=1}^k \lambda_{i_j}$

例如， $S_1(L)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$ ，而 $S_n(L)=\lambda_1\cdots\lambda_n$ 。使用基本對稱函數，特徵多項式可表示為

$p(t)=(-t)^n+S_1(L)(-t)^{n-1}+S_2(L)(-t)^{n-2}+\cdots+S_{n-1}(L)(-t)+S_n(L)$

比較由基本對稱函數和主餘子構成的兩種特徵多項式形式，立即得知

$E_i(A)=S_i(L),~~i=1,2,\ldots,n$

當 $i=1$ 時， $E_1(A)=S_1(L)$ 就是

$\mathrm{trace}A=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$

當 $i=n$ ， $E_n(A)=S_n(L)$ 也就是

$\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n$

證得矩陣跡數等於其特徵值之和，行列式等於其特徵值之積。

6 Responses to 特徵多項式蘊藏的訊息

Chenlogy says:

05/15/2012 at 8:52 pm

我以為我是第一個用上述方式拆解~特徵值行列式的人,昨天高興了一下…OTZ 現在我想… 果然是我太膚淺了, 高老師! ~ 再補上三次方程式公式解就更好了一路殺到特徵值,只能用爽快形容!

- ccjou says:
  
  05/16/2012 at 12:25 pm
  
  我的經驗是：利用三次方程的根式解計算特徵值……並不是一件愉快的工作。
  
  - Chenlogy says:
    
    05/16/2012 at 1:08 pm
    
    教授,如果就一般矩陣而言,”非特殊矩陣” 用何種方法尋找特徵值比較恰當? 就三階以上狀況而言.
    
    - ccjou says:
      
      05/16/2012 at 1:24 pm
      
      QR 演算法是一種常用的特徵值數值計算法，我並未在此介紹過。如果只求絕對值最大特徵值，可以使用Power迭代法，見
      https://ccjou.wordpress.com/2010/11/02/power-%E9%81%9E%E8%BF%B4%E6%B3%95/
      
r2123b says:

10/23/2013 at 9:24 pm

老師：
請問線代的特徵多項式 $P_{A}(x)$
跟求解遞迴方程式 $\left\{\begin{matrix} a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \\ a_{1}=1, a_{2}=2 \end{matrix}\right.$ 的 $a_{n}$ 時所用的特徵多項式有什麼關聯嗎?

為什麼都叫特徵多項式??

- ccjou says:
  
  10/23/2013 at 10:23 pm
  
  幾年前也有讀者問我同樣的問題，同時並引述他的微方老師說法：微分方程和線性代數沒有甚麼關係。聽了以後，我心想總該有人站出來說句公道話吧，於是便熬夜寫了一篇長文解釋兩者之間的關聯。請參閱下文，答案在3C。
  
  https://ccjou.wordpress.com/2009/11/18/%E5%BE%9E%E7%B7%9A%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B8%E7%9C%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/

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