利用行列式判斷線性獨立函數

本文的閱讀等級:初級

設想我們解出一道齊次常係數微分方程,解具有以下形式:

y(x)=c_1e^{x}+c_2xe^{x}+c_3x^2e^{x}

一般解為 e^xxe^{x}x^2e^{x} 的線性組合,這三個函數提供了齊次微分方程解空間的基底,也稱為解基。既然這些函數構成一組基底,它們就必須是線性獨立的,但要如何判斷呢?讓線性代數來回答這個問題。

 
f_1,f_2,\ldots,f_n 為定義於區間 I 的函數,考慮它們的線性組合為零的情況,對於 x\in I

c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)=0

引用線性獨立向量的定義:如果僅存在 c_i=0i=1,2,\ldots,n)滿足上式,則 \{f_1,\ldots,f_n\} 是線性獨立函數集。問題是我們手邊只有一條方程式,但是卻有 n 個未知數,能否製造出更多的方程式來幫助我們限制這些未知數?如果函數 f_in-1 次可導函數,根據導數的線性法則,未知數 c_i 必定滿足以下 n 個方程式:

\begin{aligned}  c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)&=0\\    c_1f'_1(x)+c_2f'_2(x)+\cdots+c_nf'_n(x)&=0\\    c_1f''_1(x)+c_2f''_2(x)+\cdots+c_nf''_n(x)&=0\\    &\vdots\\    c_1f^{(n-1)}_1(x)+c_2f^{(n-1)}_2(x)+\cdots+c_nf^{(n-1)}_n(x)&=0,\end{aligned}

上面 f^{(k)}_i(x) 表示 f_i(x)k 次導函數。

 
將方程組寫為矩陣形式:

\begin{bmatrix}    f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\    f'_1(x)&f'_2(x)&\cdots&f'_n(x)\\    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    f^{(n-1)}_1(x)&f^{(n-1)}_2(x)&\cdots&f^{(n-1)}_n(x)    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    c_1\\    c_2\\    \vdots\\    c_n    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    0\\    0\\    \vdots\\    0    \end{bmatrix}

原來的問題轉移為求此齊次方程的解。如果係數矩陣是可逆的,齊次方程僅存在平凡解,亦即所有c_i 皆為零,那麼 \{f_1,\ldots,f_n\} 是線性獨立集。最簡單的檢查方式是計算係數矩陣的行列式,稱為 Wronskian 行列式:

W(x)=\begin{vmatrix}    f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\    f'_1(x)&f'_2(x)&\cdots&f'_n(x)\\    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\    f^{(n-1)}_1(x)&f^{(n-1)}_2(x)&\cdots&f^{(n-1)}_n(x)    \end{vmatrix}

檢驗一組函數為線性獨立的規則是:如果存在 x\in I 使 W(x)\neq 0,則 \{f_1,\ldots,f_n\} 於區間 I 是線性獨立集。但相反陳述不為真,如果任意 x\in I 都有 W(x)=0,並不表示它們線性相關,這些函數可能獨立也可能相關,理由是我們引進的 n-1 個導函數式子為必要條件而非充分條件。試舉一個粗淺的對比,假設「若天下雨,則草地濕」為真,並不表示「若天不下雨,則草地不濕」也為真,誰知道是不是恰巧有一群剛從池塘邊跑來的馬兒在草地上覓食。

 
下面我們用幾個例子說明 Wronskian 行列式於判斷線性獨立函數的應用。

 
例一:考慮實數 xf_1=e^xf_2=xe^xf_3=x^2e^x。利用行列式基本性質可以簡化 Wronskian 行列式的計算:

\begin{aligned}  W(x)&=\begin{vmatrix}    e^x&xe^x&x^2e^x\\    e^x&e^x+xe^x&2xe^x+x^2e^x\\    e^x&2e^x+xe^x&2e^x+4xe^x+x^2e^x    \end{vmatrix}\\    &=e^{3x}\begin{vmatrix}    1&x&x^2\\    1&1+x&2x+x^2\\    1&2+x&2+4x+x^2    \end{vmatrix}=e^{3x}\begin{vmatrix}    1&x&x^2\\    0&1&2x\\    0&0&2    \end{vmatrix}=2e^{3x}.\end{aligned}

可見至少存在一個實數 x 使 W(x) 不為零,故這三個函數是線性獨立。

 
例二:考慮實數 x,且 f_1=xf_2=x^2f_3=3x-4x^2。很明顯,f_3=3f_1-4f_2,這三個函數是線性相關,它們形成的 Wronskian 行列式必定到處為零,驗證如下:

\begin{aligned}  W(x)&=\begin{vmatrix}    x&x^2&3x-4x^2\\    1&2x&3-8x\\    0&2&-8    \end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}    2x&3-8x\\    2&-8    \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}    x^2&3x-4x^2\\    2&-8    \end{vmatrix}\\    &=x(-16x-6+16x)-(-8x^2-6x+8x^2)=0.\end{aligned}

 
例三:考慮實數 xf_1=x^3f_2=\vert x^3\vert。分開兩個情況:當 x\ge 0

W(x)=\begin{vmatrix}    x^3&x^3\\    3x^2&3x^2    \end{vmatrix}=0

x<0

W(x)=\begin{vmatrix}    x^3&-x^3\\    3x^2&-3x^2    \end{vmatrix}=0

我們發現對於所有 xW(x)=0,然而 x^3\vert x\vert^3 是線性獨立的,因為 \vert x^3\vert 不為 x^3 的倍數。此例說明既使 Wronskian 行列式到處為零,也不能斷定函數集是線性相關。

 
後註:
上文錯誤已訂正,請參閱“答vbigmouse chen──關於Wronskian於判斷線性獨立函數的應用”。

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5 則回應給 利用行列式判斷線性獨立函數

  1. aocwind 說:

    原來Wronskian是利用了"微分乃線性算子"的原理呀!
    又上了一課:)

  2. vbigmouse chen 說:

    周老師好,我是幾年前修您計結的學生,前幾天在使用wronskian判斷函數相關性的時候,發現了一些問題想請教:
    Q1.|x^3|為什麼是不可微分呢? 根據微分的定義 df(x)=[f(x+h)-f(x)] / h,在x=0時則
    |h^3|/h = h^2|h|/h = h|h|, 當h->0時,左微分=右微分=0,那為什麼老師說不可微分呢?

    Q2.對於所有可微分(解析)函數來說,wronskian=0 為什麼無法推得線性獨立?
    舉例來說,
    根據LD的定義 : 若 c1y1+c2y2=0 存在c1.c2 不全為0,使得等式成立,則稱y1 y2線性相關。
    對等式微分一次,若y1,y2可微分,則得到 c1y1’+c2y2’=0。 將兩條等式寫成矩陣形式 Ax=0,若A為奇異則存在非零x使Ax=0成立 => 符合LD之定義,但實際上卻不能這樣推論,這中間有那裡出現問題了呢?

    Q3.針對Q2來說,一般會舉出反例如 x^3, |x|x^2,在正負無限間明顯兩者為LID。若說|x|x^2不可微分,則無法套用wronskian,也就是是否LD和wronskian無關(或說wronskian無法計算)。

    但如Q1所述,如果微分定義成立,則|x|x^2至少可以微分兩次,足以計算一個2階的wronskian了,經過計算wronskian=0,則表示wronskian=0的確無法推論至LD。

    總結一下我的問題:
    1.諸如|x|x^2等函數是否可微分?
    2.如果|x|x^2不可微分,則此類函數不可計算wronskian。那麼排除掉不可計算的函數後,若wronskian=0為何不能推論至LD? 是對應的0空間不同嗎?(Ax=0的0應該是指函數0?)
    3.如果|x|x^2可微分,則確定wronskian=0無法推論至LD,但是既然可微分,則如Q2的例子對等式微分後得到的聯立方程組應該沒有問題,那就是對Ax=0的分析出錯了?

    抱歉問了許多問題,但是最近被這問題困擾許久,希望老師解我心頭之疑惑,謝謝!

    • ccjou 說:

      喔,你的問題觸及數學分析的一些基本要義。我還要仔細想一想,等都弄清楚以後下周再回覆。

    • ccjou 說:

      方才重讀此文發現一個錯誤:最末一行的線性獨立,應為線性相關。已訂正。

      Q2.對於所有可微分(解析)函數來說,wronskian=0 為什麼無法推得線性獨立?
      應該改成
      對於所有可微分(解析)函數來說,wronskian=0 為什麼無法推得線性相關?

      是這樣嗎?

  3. vbigmouse chen 說:

    是的,是我打字錯誤了,應該是線性相關才對。

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