利用行列式判斷線性獨立函數

本文的閱讀等級：初級

設想我們解出一道齊次常係數微分方程，解具有以下形式：

$y(x)=c_1e^{x}+c_2xe^{x}+c_3x^2e^{x}$ 。

一般解為 $e^x$ ， $xe^{x}$ 和 $x^2e^{x}$ 的線性組合，這三個函數提供了齊次微分方程解空間的基底，也稱為解基。既然這些函數構成一組基底，它們就必須是線性獨立的，但要如何判斷呢？讓線性代數來回答這個問題。

設 $f_1,f_2,\ldots,f_n$ 為定義於區間 $I$ 的函數，考慮它們的線性組合為零的情況，對於 $x\in I$ ，

$c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)=0$ 。

引用線性獨立向量的定義：如果僅存在 $c_i=0$ （ $i=1,2,\ldots,n$ ）滿足上式，則 $\{f_1,\ldots,f_n\}$ 是線性獨立函數集。問題是我們手邊只有一條方程式，但是卻有 $n$ 個未知數，能否製造出更多的方程式來幫助我們限制這些未知數？如果函數 $f_i$ 是 $n-1$ 次可導函數，根據導數的線性法則，未知數 $c_i$ 必定滿足以下 $n$ 個方程式：

$\begin{aligned} c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)&=0\\ c_1f'_1(x)+c_2f'_2(x)+\cdots+c_nf'_n(x)&=0\\ c_1f''_1(x)+c_2f''_2(x)+\cdots+c_nf''_n(x)&=0\\ &\vdots\\ c_1f^{(n-1)}_1(x)+c_2f^{(n-1)}_2(x)+\cdots+c_nf^{(n-1)}_n(x)&=0,\end{aligned}$

上面 $f^{(k)}_i(x)$ 表示 $f_i(x)$ 的 $k$ 次導函數。

將方程組寫為矩陣形式：

$\begin{bmatrix} f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\ f'_1(x)&f'_2(x)&\cdots&f'_n(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f^{(n-1)}_1(x)&f^{(n-1)}_2(x)&\cdots&f^{(n-1)}_n(x) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}$ 。

原來的問題轉移為求此齊次方程的解。如果係數矩陣是可逆的，齊次方程僅存在平凡解，亦即所有 $c_i$ 皆為零，那麼 $\{f_1,\ldots,f_n\}$ 是線性獨立集。最簡單的檢查方式是計算係數矩陣的行列式，稱為 Wronskian 行列式：

$W(x)=\begin{vmatrix} f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\\ f'_1(x)&f'_2(x)&\cdots&f'_n(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f^{(n-1)}_1(x)&f^{(n-1)}_2(x)&\cdots&f^{(n-1)}_n(x) \end{vmatrix}$ 。

檢驗一組函數為線性獨立的規則是：如果存在 $x\in I$ 使 $W(x)\neq 0$ ，則 $\{f_1,\ldots,f_n\}$ 於區間 $I$ 是線性獨立集。但相反陳述不為真，如果任意 $x\in I$ 都有 $W(x)=0$ ，並不表示它們線性相關，這些函數可能獨立也可能相關，理由是我們引進的 $n-1$ 個導函數式子為必要條件而非充分條件。試舉一個粗淺的對比，假設「若天下雨，則草地濕」為真，並不表示「若天不下雨，則草地不濕」也為真，誰知道是不是恰巧有一群剛從池塘邊跑來的馬兒在草地上覓食。

下面我們用幾個例子說明 Wronskian 行列式於判斷線性獨立函數的應用。

例一：考慮實數 $x$ ， $f_1=e^x$ ， $f_2=xe^x$ ， $f_3=x^2e^x$ 。利用行列式基本性質可以簡化 Wronskian 行列式的計算：

$\begin{aligned} W(x)&=\begin{vmatrix} e^x&xe^x&x^2e^x\\ e^x&e^x+xe^x&2xe^x+x^2e^x\\ e^x&2e^x+xe^x&2e^x+4xe^x+x^2e^x \end{vmatrix}\\ &=e^{3x}\begin{vmatrix} 1&x&x^2\\ 1&1+x&2x+x^2\\ 1&2+x&2+4x+x^2 \end{vmatrix}=e^{3x}\begin{vmatrix} 1&x&x^2\\ 0&1&2x\\ 0&0&2 \end{vmatrix}=2e^{3x}.\end{aligned}$

可見至少存在一個實數 $x$ 使 $W(x)$ 不為零，故這三個函數是線性獨立。

例二：考慮實數 $x$ ，且 $f_1=x$ ， $f_2=x^2$ ， $f_3=3x-4x^2$ 。很明顯， $f_3=3f_1-4f_2$ ，這三個函數是線性相關，它們形成的 Wronskian 行列式必定到處為零，驗證如下：

$\begin{aligned} W(x)&=\begin{vmatrix} x&x^2&3x-4x^2\\ 1&2x&3-8x\\ 0&2&-8 \end{vmatrix}=x\begin{vmatrix} 2x&3-8x\\ 2&-8 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} x^2&3x-4x^2\\ 2&-8 \end{vmatrix}\\ &=x(-16x-6+16x)-(-8x^2-6x+8x^2)=0.\end{aligned}$

例三：考慮實數 $x$ ， $f_1=x^3$ ， $f_2=\vert x^3\vert$ 。分開兩個情況：當 $x\ge 0$ ，

$W(x)=\begin{vmatrix} x^3&x^3\\ 3x^2&3x^2 \end{vmatrix}=0$ ；

當 $x<0$ ，

$W(x)=\begin{vmatrix} x^3&-x^3\\ 3x^2&-3x^2 \end{vmatrix}=0$ 。

我們發現對於所有 $x$ ， $W(x)=0$ ，然而 $x^3$ 和 $\vert x\vert^3$ 是線性獨立的，因為 $\vert x^3\vert$ 不為 $x^3$ 的倍數。此例說明即使 Wronskian 行列式到處為零，也不能斷定函數集是線性相關。

後註：
上文錯誤已訂正，請參閱“答vbigmouse chen──關於Wronskian於判斷線性獨立函數的應用”。

5 Responses to 利用行列式判斷線性獨立函數

aocwind says:

02/05/2010 at 8:00 pm

原來Wronskian是利用了”微分乃線性算子”的原理呀!
又上了一課:)

vbigmouse chen says:

10/26/2012 at 6:57 pm

周老師好，我是幾年前修您計結的學生，前幾天在使用wronskian判斷函數相關性的時候，發現了一些問題想請教：
Q1.|x^3|為什麼是不可微分呢? 根據微分的定義 df(x)=[f(x+h)-f(x)] / h，在x=0時則
|h^3|/h = h^2|h|/h = h|h|，當h->0時，左微分=右微分=0，那為什麼老師說不可微分呢?

Q2.對於所有可微分(解析)函數來說，wronskian=0 為什麼無法推得線性獨立?
舉例來說，
根據LD的定義 : 若 c1y1+c2y2=0 存在c1.c2 不全為0，使得等式成立，則稱y1 y2線性相關。
對等式微分一次，若y1,y2可微分，則得到 c1y1’+c2y2’=0。將兩條等式寫成矩陣形式 Ax=0，若A為奇異則存在非零x使Ax=0成立 => 符合LD之定義，但實際上卻不能這樣推論，這中間有那裡出現問題了呢?

Q3.針對Q2來說，一般會舉出反例如 x^3, |x|x^2，在正負無限間明顯兩者為LID。若說|x|x^2不可微分，則無法套用wronskian，也就是是否LD和wronskian無關(或說wronskian無法計算)。

但如Q1所述，如果微分定義成立，則|x|x^2至少可以微分兩次，足以計算一個2階的wronskian了，經過計算wronskian=0，則表示wronskian=0的確無法推論至LD。

總結一下我的問題：
1.諸如|x|x^2等函數是否可微分？
2.如果|x|x^2不可微分，則此類函數不可計算wronskian。那麼排除掉不可計算的函數後，若wronskian=0為何不能推論至LD? 是對應的0空間不同嗎?(Ax=0的0應該是指函數0?)
3.如果|x|x^2可微分，則確定wronskian=0無法推論至LD，但是既然可微分，則如Q2的例子對等式微分後得到的聯立方程組應該沒有問題，那就是對Ax=0的分析出錯了?

抱歉問了許多問題，但是最近被這問題困擾許久，希望老師解我心頭之疑惑，謝謝!

- ccjou says:
  
  10/26/2012 at 8:41 pm
  
  喔，你的問題觸及數學分析的一些基本要義。我還要仔細想一想，等都弄清楚以後下周再回覆。
  
- ccjou says:
  
  10/27/2012 at 10:27 pm
  
  方才重讀此文發現一個錯誤：最末一行的線性獨立，應為線性相關。已訂正。
  
  Q2.對於所有可微分(解析)函數來說，wronskian=0 為什麼無法推得線性獨立?
  應該改成
  對於所有可微分(解析)函數來說，wronskian=0 為什麼無法推得線性相關?
  
  是這樣嗎？
  
vbigmouse chen says:

10/27/2012 at 10:31 pm

是的，是我打字錯誤了，應該是線性相關才對。

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