可逆矩陣定理

本文的閱讀等級:初級

可逆矩陣定理貫穿線性代數的許多重要主題,如線性方程、線性獨立、向量空間、行列式、特徵值和奇異值;不論準備考試或自我充實,可逆矩陣定理好比「線代雞湯」是極佳的觀念複習濃縮菁華。本文解釋部分陳述並說明常用的推論路徑,並未給出可逆矩陣定理的完整證明。

 
可逆矩陣定理

An\times n 階實矩陣,可逆矩陣定理包含以下等價的陳述。

(1) A 是可逆的,或者說存在 A^{-1} 滿足 A^{-1}A=I_nI_nn 階單位矩陣;

(2) A\mathbf{x}=\mathbf{0} 僅存在平凡解 \mathbf{x}=\mathbf{0}

(3) A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有唯一解 \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}

(4) An 個 (非零) 軸 (pivot);

(5) A 的簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 是 I_n,或者說 A 列等價於 I_n

(6) A 有線性獨立的行向量;

(7) A 有線性獨立的列向量;

(8) \mathrm{rank}A=n

(9) A 的行空間為 \mathbb{R}^nA:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n 是滿射 (onto,技術名詞為 surjective);

(10) A 的列空間為 \mathbb{R}^n

(11) A 的零空間為 \{\mathbf{0}\}A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n 是一對一 (one-to-one,技術名詞為 injective);

(12) A^T 的零空間為 \{\mathbf{0}\}

(13) \mathrm{det}A\neq 0

(14) A 的特徵值不為零;

(15) A^TA 是 (對稱) 正定矩陣;

(16) A 的奇異值大於零。

 
線性方程解

(1) 設 \mathbf{y}=A\mathbf{x},此式可視之為 \mathbf{x} 經過線性變換 A 得到 \mathbf{y}。若 A 是可逆的,則可由 \mathbf{y} 得回 \mathbf{x},圖示如 \mathbf{x}\overset{A}{\rightarrow}\mathbf{y}\overset{A^{-1}}{\rightarrow}\mathbf{x},顯然 A^{-1}A=I,這對 \mathbf{x} 不起任何作用,同樣 AA^{-1}=I\mathbf{y} 也不產生作用。

(1)\Rightarrow(2) 若 A 是可逆的,考慮 A\mathbf{x}=\mathbf{0},等號兩端左乘 A^{-1},左邊為 A^{-1}A\mathbf{x}=I\mathbf{x}=\mathbf{x},右邊為 A^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0},故 \mathbf{x}=\mathbf{0}

(2)\Rightarrow(3) 我們用逆否命題法來證明。假設方程式 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有兩相異解 \mathbf{u}\mathbf{v},則 A(\mathbf{u}-\mathbf{v})=A\mathbf{u}-A\mathbf{v}=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0},證明 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 必有唯一解。

 
消去法

(4) 在線性聯立方程組中,軸的作用是鎖定未知數。若方程組有唯一解,所有的未知數必須都被鎖定,因此一個軸都不可少。

(3)\Rightarrow(5) 當方程組有唯一解 \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b},高斯—約當法將增廣矩陣 \begin{bmatrix}    A&\mathbf{b}    \end{bmatrix} 化簡為 \begin{bmatrix}    I&A^{-1}\mathbf{b}    \end{bmatrix},消去法求解的實質效果等於下面的矩陣乘法:

A^{-1}\begin{bmatrix}    A&\mathbf{b}    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    A^{-1}A&A^{-1}\mathbf{b}    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    I&A^{-1}\mathbf{b}    \end{bmatrix}

 
線性獨立

(2)\Rightarrow(6) 將 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 解讀為 A 的行向量 \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n 之線性組合:

\begin{bmatrix}    \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    x_1\\    \vdots\\    x_n    \end{bmatrix}=x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{0}

如果 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 僅存在平凡解 \mathbf{x}=\mathbf{0},這等於宣告 \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n 是線性獨立的。

(4)\Rightarrow(7) 使用逆否命題法。假如 A 的列向量是線性相關,其中必定存在至少一列可表示其他列的線性組合,也就是說對 A 執行高斯消去法將會產生至少一零列,這將使總軸數小於 n

 
秩與向量空間

(8) 我們定義矩陣 \mathrm{rank}A 為線性獨立的行 (列) 向量總數,\mathrm{rank}A=n,此結果從陳述 (6),(7)。

(6)\Rightarrow(9) 因為 n 個線性獨立的 n 維行向量可作為向量空間 \mathbb{R}^n 的一組基底,故 A 的行空間即為 \mathbb{R}^n

(7)\Rightarrow(10) 同樣道理,n 個線性獨立的 n 維列向量可以當作 \mathbb{R}^n 的基底,所以 A 的列空間也為 \mathbb{R}^n

(2)\Rightarrow(11) 方程式 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 僅存在平凡解 \mathbf{x}=\mathbf{0} 說明 A 的零空間僅含 \mathbf{0}

(11)\Rightarrow(12) 令 B=A^T,若 A 可逆,則 B 也是可逆的。因為 A^T 的零空間等於 B 的零空間,由 (11) 可知 B 的零空間為 \{\mathbf{0}\}

 
行列式

(13) 最直接的想法:如果 \mathrm{det}A=0,那麼克拉瑪公式便給不出唯一解了。

 
特徵值與奇異值

(13)\Rightarrow(14) 矩陣 A 的行列式等於其特徵值的乘積,由 (13) \mathrm{det}A\neq 0,因此 A 的特徵值不為零。

(2)\Rightarrow(15) 假如有 \mathbf{x}\neq\mathbf{0} 使得 \mathbf{x}^TA^TA\mathbf{x}=0,也就是 \Vert A\mathbf{x}\Vert^2=0,推知 A\mathbf{x}=\mathbf{0},這與 (2) 矛盾,故 A^TA 是正定矩陣。

(14)\Rightarrow(16) A 的奇異值是 A^TA 的特徵值的正平方根,利用正定矩陣的特徵值大於零此性質,所以 A 的奇異值大於零 。

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3 Responses to 可逆矩陣定理

  1. pp 說道:

    「00
    00 」

  2. 阿保 說道:

    如果我們A矩陣沒有可逆矩陣的話,有什麼方法可求出A*A^-1盡似於I呢?

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