## 特殊矩陣 (12)：對角佔優矩陣

$\displaystyle \vert a_{ii}\vert>\sum_{j\neq i}\vert a_{ij}\vert$

$B=\left[\!\!\begin{array}{rrc} -4&-2&1\\ 1&2&0\\ 3&1&5 \end{array}\!\!\right]$

\begin{aligned} \vert b_{11}\vert&=4>\vert b_{12}\vert+\vert b_{13}\vert=2+1=3\\ \vert b_{22}\vert&=2>\vert b_{21}\vert+\vert b_{23}\vert=1+0=1\\ \vert b_{33}\vert&=5>\vert b_{31}\vert+\vert b_{32}\vert=3+1=4.\end{aligned}

$C=\left[\!\!\begin{array}{rrc} -2&-2&1\\ 1&1&0\\ 3&1&5 \end{array}\!\!\right]$

\begin{aligned} \vert b_{11}\vert&=2<\vert b_{12}\vert+\vert b_{13}\vert=2+1=3\\ \vert b_{22}\vert&=1\ge\vert b_{21}\vert+\vert b_{23}\vert=1+0=1\\ \vert b_{33}\vert&=5>\vert b_{31}\vert+\vert b_{32}\vert=3+1=4.\end{aligned}

$a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+\cdots+a_{kn}x_n=0$

$\displaystyle a_{kk}x_k=-\sum_{j\neq k}a_{kj}x_j$

\begin{aligned}\displaystyle \vert a_{kk}\vert\cdot\vert x_k\vert&=\left|\sum_{j\neq k}a_{kj}x_j\right|\le\sum_{j\neq k}\vert a_{kj}x_j\vert\\ &=\sum_{j\neq k}\vert a_{kj}\vert\cdot\vert x_j\vert\\ &\le\left(\sum_{j\neq k}\vert a_{kj}\vert\right)\vert x_k\vert.\end{aligned}

$\displaystyle \vert a_{kk}\vert\le\sum_{j\neq k}\vert a_{kj}\vert$

\begin{aligned} 0x+y&=1\\ x+y&=2,\end{aligned}

\begin{aligned} 10^{-4}x+y&=1\\ x+y&=2,\end{aligned}

$\displaystyle x=\frac{1}{1-0.0001},~y=2-\frac{1}{1-0.0001}$

$\begin{bmatrix} 0.0001&1&\vline&1\\ 1&1&\vline&2 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 0.0001&1&\vline&1\\ 0&-9999&\vline&-9998 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0.1\times 10^{-3}&1&\vline&1\\ 0&-(0.1)\times 10^{5}&\vline&-(0.1)\times 10^{5} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1&1&\vline&2\\ 0.0001&1&\vline&1 \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1&1&\vline&2\\ 0&0.9999&\vline&0.9998 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\ 0&3&\bullet&\bullet&\bullet\\ 0&1&\blacktriangle&\blacktriangle&\blacktriangle \\ 0&5&\star&\star&\star \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} \ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\ 0&5&\star&\star&\star\\ 0&1&\blacktriangle &\blacktriangle &\blacktriangle \\ 0&3&\bullet&\bullet&\bullet \end{bmatrix}$

$A^T$ 為嚴格對角佔優矩陣，每次消去步驟遇到的軸元都比下面各個元的絕對值大，因此不需要執行部分軸元法。

$A$ 是一 Hermitian 非嚴格對角佔優矩陣且所有主對角元皆非負數，則 $A$ 是半正定矩陣。利用 Gershgorin 圓定理可判定對角佔優矩陣的特徵值，詳細介紹請見“估計特徵值範圍的 Gershgorin 圓”。

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### 4 則回應給 特殊矩陣 (12)：對角佔優矩陣

1. 小中 說：

第一行 “如果一………滿足" 的那個條件是怎麼來的??

• ccjou 說：

你是說誰先指出這個條件？十九世紀以來，數學家們希望找出一些可判定非零行列式(即可逆矩陣)的條件。根據維基百科，對角佔優矩陣已有超過100年歷史，並且被許多數學家重新發現。請見下文圖一：
http://www.math.wisc.edu/~hans/paper_archive/other_papers/hs057.pdf
至於數學家是如何找到這個條件？很抱歉，我也不知道。多數的數學家向來不願意與世人分享他們發現某個定理或性質的過程。

2. Lin 說：

很好奇非严格的对角占优矩阵有怎样的性质呢？

• ccjou 說：

如果是指可逆，當$A$僅有一列(row) $k$ 滿足 $\vert a_{kk}\vert=\sum_{j\neq k}\vert a_{kj}\vert$，其餘所有列 $i\neq k$ 滿足嚴格對角佔優條件，則$A$是可逆矩陣。