補子空間與直和

本文的閱讀等級:中級

向量空間 \mathcal{V} 中有二個特別的子空間:一是僅包含零向量 \mathbf{0} 的子空間,記為 \mathcal{O},另一個是 \mathcal{V} 自身。通常,我們感興趣的子空間既非 \mathcal{O} 亦非 \mathcal{V},而是介於兩者之間的那些子空間。往下討論之前,先準備必要的記號與定義。設 \mathcal{X}\mathcal{Y} 為定義於向量空間 \mathcal{V} 中的二個子空間,表示為 \mathcal{X}\subseteq\mathcal{V}\mathcal{Y}\subseteq\mathcal{V}。如果向量 \mathbf{x} 屬於子空間 \mathcal{X},則 \mathbf{x}-\mathbf{x} 也屬於 \mathcal{X},這指出任意子空間都包含 \mathbf{0},因此 \mathcal{O}\subseteq\mathcal{X}。令 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y} 代表 \mathcal{X}\mathcal{Y} 的交集。若 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\mathcal{O},我們稱 \mathcal{X}\mathcal{Y} 不交集 (disjoint)。

 
子空間交集 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}\mathcal{V} 中的一個子空間,理由如下。因為 \mathcal{X}\mathcal{Y} 都包含 \mathbf{0}\mathcal{X}\cap\mathcal{Y} 也包含 \mathbf{0}。設 \mathbf{x}\mathbf{y} 屬於 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y},當然他們各自也都屬於 \mathcal{X}\mathcal{Y},由子空間性質可知 \mathbf{x}\mathbf{y} 的線性組合 c\mathbf{x}+d\mathbf{y} 既屬於 \mathcal{X} 也屬於 \mathcal{Y},可知 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y} 滿足向量加法和純量乘法封閉性,所以確實是一個子空間。

 
我們定義 \mathcal{X}\cup\mathcal{Y} 為包含所有 \mathcal{X}\mathcal{Y} 的向量集合,\mathcal{X}\cup\mathcal{Y} 也是子空間嗎?考慮 \mathcal{X}\mathcal{Y} 為穿越原點的二條相異直線,這二條直線上的向量和未必仍在線上,因此不滿足向量加法封閉性,\mathcal{X}\cup\mathcal{Y} 並不是一個子空間。由於任何向量集的擴張都為子空間,可知 \mathcal{X}\cup\mathcal{Y} 的擴張是 \mathcal{V} 中的一個子空間。設 \mathcal{X} 由向量集 \{\mathbf{x}_i\} 擴張而成,\mathcal{Y}\{\mathbf{y}_j\} 擴張而成 (目前我們不要求這些向量集為基底)。如果 \mathbf{x}\in\mathcal{X}\mathbf{y}\in\mathcal{Y},明顯地,\mathbf{x} 可以表示為 \{\mathbf{x}_i\} 的線性組合,\mathbf{y} 可表為 \{\mathbf{y}_j\} 的線性組合,故 \mathbf{x}+\mathbf{y} 可以寫為 \{\mathbf{x}_i\}\cup\{\mathbf{y}_j\} 的線性組合,也就是說,所有的 \mathbf{x}+\mathbf{y} 所形成的集合即為 \mathcal{X}\cup\mathcal{Y} 的擴張。根據這個結果,我們定義 \mathcal{X}\mathcal{Y} 的子空間和為

\mathcal{X}+\mathcal{Y}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\mathrm{span}(\mathcal{X}\cup\mathcal{Y})=\{\mathbf{x}+\mathbf{y}~\vline~\mathbf{x}\in\mathcal{X},\mathbf{y}\in\mathcal{Y}\}

 
子空間交集 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y} 與子空間和 \mathcal{X}+\mathcal{Y} 提供了產生新子空間的運算方式,它們與子空間 \mathcal{X}\mathcal{Y} 的維數存在一個簡單的關係,稱為容斥定理:

\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{Y}=\dim(\mathcal{X}+\mathcal{Y})+\dim(\mathcal{X}\cap\mathcal{Y})

以下考慮 \mathcal{V} 為一有限維幾何空間,利用秩—零度定理很容易證明。設 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m\}\mathcal{X} 的一組基底,\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_n\}\mathcal{Y} 的基底。令矩陣 A 的行向量 (column vector) 包含這二組基底:

A=\begin{bmatrix}    \mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_m&\mathbf{y}_1&\cdots&\mathbf{y}_n    \end{bmatrix}

顯然,子空間和 \mathcal{X}+\mathcal{Y} 即為 A 的行空間 (column space),因此 \dim(\mathcal{X}+\mathcal{Y})=\mathrm{rank}A。考慮 A 零空間 (nullspace) N(A) 中的向量 \mathbf{c}A\mathbf{c}=\mathbf{0},也就有

c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_m\mathbf{x}_m+c_{m+1}\mathbf{y}_{1}+\cdots+c_{m+n}\mathbf{y}_{n}=\mathbf{0}

\mathbf{x}_i\mathbf{y}_j 分離,令

\mathbf{z}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_{m}\mathbf{x}_{m}=-c_{m+1}\mathbf{y}_1-\cdots-c_{m+n}\mathbf{y}_n

上式說明 \mathbf{z}\in\mathcal{X}\mathbf{z}\in\mathcal{Y},故 \mathbf{z}\in\mathcal{X}\cap\mathcal{Y}。相反方向的推論也成立,因此子空間交集 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y} 就是 A 的零空間 N(A),即有 \dim(\mathcal{X}\cap\mathcal{Y})=\dim N(A)。矩陣 A 的行空間的維數叫做秩,零空間的維數稱為零度 (nullity),由秩—零度定理可得

m+n=\mathrm{rank}A+\dim N(A)

m=\dim\mathcal{X}n=\dim\mathcal{Y},故證得原命題(請參閱“每週問題 September 14, 2009”的例子)。

 
從子空間交集與子空間和的運算,便有補子空間 (complementary subspace) 的概念誕生。設 \mathcal{X} 為向量空間 \mathcal{V} 的子空間,如果 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\mathcal{O}\mathcal{X}+\mathcal{Y}=\mathcal{V},我們說 \mathcal{Y}\mathcal{X} 的補子空間 (或簡稱補空間)。這時,\dim(\mathcal{X}\cap\mathcal{Y})=0\dim(\mathcal{X}+\mathcal{Y})=\dim\mathcal{V},補子空間的意義在於

\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{Y}=\dim\mathcal{V}

見下圖,考慮 \mathbb{R}^3 空間,\mathcal{P} 為一穿越原點的平面,\mathcal{L} 為一穿越原點的直線。子空間 \mathcal{P}\mathcal{L} 不交集,\mathcal{P}\cap\mathcal{L}=\mathcal{O}。若 \mathbf{x}\in\mathcal{P}\mathbf{y}\in\mathcal{L},向量加法的平行四邊形法則表明 \mathbf{x}+\mathbf{y} 能充滿整個 \mathbb{R}^3,亦即 \mathcal{P}+\mathcal{L}=\mathbb{R}^3。向量空間 \mathbb{R}^3 可由互不交集的二個成分構成,這個概念提供了一個建構新向量空間的有效方法。

L 與 P 互為補子空間

 
如果 \mathcal{Y} 是向量空間 \mathcal{V} 的子空間 \mathcal{X} 的補子空間,我們稱 \mathcal{V}\mathcal{X}\mathcal{Y} 的直和 (direct sum),符號記為 \mathcal{V}=\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y}。設 \mathcal{X}\mathcal{Y} 分別有基底 \{\mathbf{x}_i\}\{\mathbf{y}_j\},以下四個陳述是等價的:

(1) \mathcal{V}=\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y}

(2) \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\mathcal{O}\mathcal{X}+\mathcal{Y}=\mathcal{V}

(3) 對於任意 \mathbf{z}\in\mathcal{V},存在唯一向量 \mathbf{x}\in\mathcal{X}\mathbf{y}\in\mathcal{Y},使得 \mathbf{z}=\mathbf{x}+\mathbf{y}

(4) \{\mathbf{x}_i\}\cap\{\mathbf{y}_j\}=\emptyset (空集合),\{\mathbf{x}_i\}\cup\{\mathbf{y}_j\}\mathcal{V} 的一組基底。

 
因為 (1) 由 (2) 定義得來,我們只要證明 (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (4) \Rightarrow (2)。

(2) \Rightarrow (3):若 (2) 成立,就有\dim\mathcal{V}=\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{Y}。假設存在兩種方式表示 \mathbf{z}\in\mathcal{V}\mathbf{z}=\mathbf{u}_1+\mathbf{v}_1=\mathbf{u}_2+\mathbf{v}_2,其中 \mathbf{u}_1\mathbf{u}_2 屬於 \mathcal{X},而 \mathbf{v}_1\mathbf{v}_2 屬於 \mathcal{Y},則 \mathbf{u}_2-\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2,也就是說 \mathbf{u}_2-\mathbf{u}_1\in\mathcal{X}\cap\mathcal{Y},但是 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\mathcal{O},推得 \mathbf{u}_1=\mathbf{u}_2\mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2

(3) \Rightarrow (4):從 (3) 得知 \mathcal{V}=\mathcal{X}+\mathcal{Y},同時 \mathcal{X}+\mathcal{Y} 可由 \{\mathbf{x}_i\}\cup\{\mathbf{y}_j\} 擴張而成,因此 \{\mathbf{x}_i\}\cup\{\mathbf{y}_j\} 必定可擴張出 \mathcal{V},下一步要證明 \{\mathbf{x}_i\}\cup\{\mathbf{y}_j\} 包含線性獨立向量。考慮

\displaystyle\mathbf{0}=\sum_{i}c_i\mathbf{x}_i+\sum_{j}d_j\mathbf{y}_j

但 (3) 已指出 \mathcal{V} 中的向量僅有一種表示方式,而 \mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{0} 也是一種方式,故必定有 \mathbf{0}=\sum_{i}c_i\mathbf{x}_i\mathbf{0}=\sum_{j}d_j\mathbf{y}_j,所以 c_i=0d_j=0\{\mathbf{x}_i\}\cup\{\mathbf{y}_j\} 確實是 \mathcal{V} 的基底。

(4) \Rightarrow (2):若 \{\mathbf{x}_i\}\cup\{\mathbf{y}_j\}\mathcal{V} 的基底,則此向量集必為線性獨立,且 \dim\mathcal{V}=\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{Y}。從子空間和的定義可知 \{\mathbf{x}_i\}\cup\{\mathbf{y}_j\} 也足以擴張 \mathcal{X}+\mathcal{Y},因此 \mathcal{V}=\mathcal{X}+\mathcal{Y},於是 \dim\mathcal{V}=\dim(\mathcal{X}+\mathcal{Y})。再利用子空間交集的維數關係式,

\begin{aligned}  \dim(\mathcal{X}\cap\mathcal{Y})&=\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{Y}-\dim(\mathcal{X}+\mathcal{Y})\\  &=\dim\mathcal{V}-\dim\mathcal{V}=0\end{aligned}

所以 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\mathcal{O}

 
最後這段證明給出了直和維數的計算公式:

\dim(\mathcal{X}\oplus\mathcal{Y})=\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{Y}

上例中 \mathbb{R}^{3}=\mathcal{P}\oplus\mathcal{L},而 \dim\mathcal{P}=2\dim\mathcal{L}=1。三維幾何空間中的任意向量 \mathbf{z} 都可分解為 \mathbf{z}=\mathbf{x}+\mathbf{y},其中 \mathbf{x} 屬於 \mathcal{P}-成分,\mathbf{y} 屬於 \mathcal{L}-成分。從幾何觀點,如何將向量空間 \mathcal{V} 中的向量 \mathbf{z} 拆解為 \mathcal{X}-成分 \mathbf{x}\mathcal{Y}-成分 \mathbf{y} 呢?這個問題的答案就是投影,下篇文章將詳細討論此主題。

繼續閱讀:
Advertisements
This entry was posted in 線性代數專欄, 向量空間 and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

5 則回應給 補子空間與直和

  1. GSX 說:

    看這篇總算清楚知道什麼是直和了,再來多看幾次。

    但是好多東西都取名成direct sum

    就說線性代數裡,兩個矩陣也可以做直和變成分塊矩陣

    不知道這個直和與子空間的直和是否有關?

    另外,

    “相反方向的推論也成立,所以子空間交集X∩Y就是A的零空間…."

    這句是不是應該改成

    用c到z的那個mapping是1-1來說明dim(X∩Y)= dim N(A)

    會比較好呢?

    ( X∩Y ≠ N(A) )

  2. ccjou 說:

    “子空間交集 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y} 就是 A 的零空間 N(A)“是一個錯誤的陳述,應該是 \mathrm{dim}\mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\mathrm{dim}N(A)。理由正是你說的 \mathbf{c}\mathbf{z} 有一對一的對應關係。謝謝你的指正。

    嗯,寫部落格的好處就是這樣:讓所有的錯誤幾乎無所遁形。

    你說分塊矩陣直和是指如 Jordan form 的 Jordan block 的組成表示式
    J=J_1\oplus\cdots\oplus J_k?

  3. GSX 說:

    對,我指的就是那個矩陣直和~

  4. ccjou 說:

    我的理解是矩陣直和只是一種表示主對角分塊矩陣的方式。如果要說有什麼關係,我只想到 \mathbb{C}^n 是主對角分塊佔據的行所生成的行空間的直和。

  5. GSX 說:

    嗯嗯,同意~
    其實本來覺得矩陣直和,他們的行向量有"垂直",我還覺得那個"直"是指垂直而和。不過英文用direct sum也不是垂直,而且子空間直和也沒有一定要正交。總覺得在哪聽過"垂直而和",大概我記錯了吧:P

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s