本文的閱讀等級:中級
設向量空間 為子空間
與其補空間
的直和,記為
。對於任意向量
,直和的意義是僅存在唯一方式分解
為
-成分與
-成分之和。“補子空間與直和”曾舉一例,
,其中
為一平面,
為平面外的一直線。對於三維空間中的任意向量
,我們可以想像
就是將向量
沿著與
平行的直線投影至平面
,見下圖。注意,直線
上的向量至平面
的投影量為零。
在移動子空間的線性變換中,投影是一個威力強大的工具,主要用途即在於剖析子空間直和 (動漫用語是「次元切割」)。我們將上例推廣至一般狀況,設 ,對於
,有唯一
,
,使得
,其中
稱為向量
沿著
至
的投影,而
則稱為
沿著
至
的投影。如果子空間
正交於
,則稱之為正交投影 (orthogonal projection)。本文所說的投影指的是一般情況,有時我們稱之為斜投影 (oblique projection) 以便與正交投影區別。
如果 ,對於任意
,要如何計算
沿著
至
的投影分量呢?我們可以設計一
階方陣
,稱為投影算子 (projector),
即為
沿著
至
的投影。下面使用一個簡單的例子來發展演算法,考慮三維實數空間
,其中子空間
的基底為
,
子空間 的基底為
,
將這二組基底向量 合併成一方陣:
因為 ,方陣
的行向量可為
的一組基底,因此
是可逆的。投影算子
將
向量沿著
投影至
,所以滿足
,
,且
,或以矩陣乘法表示為
上式右乘 可解出投影算子,
代入上例 ,計算得到
下面我整理出投影算子的算法並解說其性質。設 ,
的基底為
,
有基底
。令
階矩陣
,
階矩陣
,
為
階可逆方陣。投影算子
的計算公式為
在 中,沿著
至
僅存在唯一的投影算子嗎?假設
和
為二個合法投影算子,就有
上式對 皆成立,故
,等號兩邊右乘
便得到
,所以確實僅有唯一的投影算子。
既然直和由二個補子空間形成,也就有補投影算子的概念。考慮
因為
從 可得
上面二式指出 屬於
的行空間 (column space),記為
,而
屬於
的行空間
。投影分量
和
分屬補子空間,我們稱
為
的補投影算子。根據投影算子性質,可以推導出子空間
和
與投影算子
和
的行空間和零空間關係:
而且
因此,由 ,亦即
,可解出子空間
。同樣地,由
則可解出子空間
。
再來我們討論投影算子的判定方法:若 是冪等 (idempotent) 矩陣,
,則線性變換
為投影算子,反向陳述也為真 (見“特殊矩陣 (5):冪等矩陣”)。先證明反向陳述,如果
是沿著
至
的投影算子,對於任意
,設
,就有
因為 是任意向量,可知
。正向陳述的證明稍微麻煩些,想法是從
證出
。任意
可以表示為
其中 。如果
,則
,故
,於是就有
。下一步是證明
。假設
,即知
且
。因為
,可得
,但
,故
。
最後我們將本文得到的結果整理於下。直和是向量空間的一種有效分解方式,投影為直和提供代數計算與幾何解釋。設 ,
為沿著
至
的投影算子,有下面幾個性質:
(1) ,
是冪等矩陣。
(2) 若 ,
,則
其中 階矩陣
的行向量為
的基底,
階矩陣
的行向量為
的基底。
(3) 由投影算子 可計算出子空間
和
:
,
。
(4) 為
的補投影算子使得
。
是沿著子空間
至
的投影算子,
則是沿著子空間
至
的投影算子。
在补投影算子 I-P 的推导过程中,最后漏了一个等号
謝謝,已修訂。
老師您好,請問……若是一個vector space拆解為兩個以上subspace的direct sum,我們是否還能夠發展出一個projector來求出vector至各個subspace的投影呢?
可以啊,譜分解就是了
https://ccjou.wordpress.com/2010/08/23/%E5%8F%AF%E5%B0%8D%E8%A7%92%E5%8C%96%E7%9F%A9%E9%99%A3%E7%9A%84%E8%AD%9C%E5%88%86%E8%A7%A3/
你應該也會對不變子空間有興趣
https://ccjou.wordpress.com/2011/01/29/%E4%B8%8D%E8%AE%8A%E5%AD%90%E7%A9%BA%E9%96%93-%E8%A7%A3%E6%A7%8B%E7%B7%9A%E6%80%A7%E7%AE%97%E5%AD%90%E7%9A%84%E5%88%A9%E5%99%A8/
會這麼問,是因為jordam form其實就是把一個vector space拆解成多個subspace的direct sum而來……懇請老師賜教,謝謝您
請問我可以怎麼證明投影變換T必存在於任意向量空間V的子空間W?
您好:
請問倒數第二段末的證明中是否應為
即知 \mathbf{w}=P\mathbf{v} 且 P\mathbf{w}=\mathbf{0}。因為 P^2=P,可得 \mathbf{w}=P\mathbf{v}=P^2\mathbf{v},但 \mathbf{0}=P\mathbf{w}=P^2\mathbf{v},故 \mathbf{w}=\mathbf{0}。
因為已知僅有P = P^2,還不知道P為投影算子。這樣是否更為嚴謹?謝謝。