分塊矩陣特徵值的計算方法

本文的閱讀等級:中級

n\times n 階矩陣 P 的特徵值定義為 n 次特徵多項式 p_P(t)=\det (P-tI_n) 的根。某些特殊型態的分塊矩陣其特徵多項式可分解為低次因式,故得以簡化計算。我們考慮下面三種分塊矩陣形式:

\displaystyle  P_1=\begin{bmatrix}    A&B\\    0&D    \end{bmatrix},~P_2=\begin{bmatrix}    0&B\\    C&0    \end{bmatrix},~P_3=\begin{bmatrix}    D&E\\    E&D    \end{bmatrix}

其中 Am\times m 階,Bm\times n 階,Cn\times m 階,DEn\times n 階。下面介紹三種推導分塊矩陣特徵多項式的方法:行列式、相似變換與冪矩陣,以及特徵向量,其中用行列式推導最為便捷,以特徵向量分析則相對複雜。(本文係根據網友的回響重新修訂改寫。)

 
行列式

(1) 利用分塊上三角矩陣的行列式公式 (見“分塊矩陣的行列式”,公式一),

\displaystyle\begin{aligned}  p_{P_1}(t)&=\det (P_1-tI_{m+n})=\begin{vmatrix}  A-tI_m&B\\  0&D-tI_n  \end{vmatrix}\\  &=\det(A-tI_m)\det (D-tI_n)\\  &=p_A(t)p_D(t).\end{aligned}

 
見下例:

P_1=\begin{bmatrix}  A&B\\  0&D  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{cccrr}    1&2&3&4&5\\    0&6&7&8&9\\    0&0&10&11&12\\    0&0&0&-1&-3\\    0&0&0&-3&-1    \end{array}\!\!\right]

其中

A=\begin{bmatrix}    1&2&3\\    0&6&7\\    0&0&10    \end{bmatrix},~ B=\begin{bmatrix}    4&5\\    8&9\\    11&12    \end{bmatrix},~ D=\begin{bmatrix}    -1&-3\\    -3&-1    \end{bmatrix}

分塊 A 是上三角矩陣,其特徵值即為主對角元 1, 6, 10,分塊 D 的特徵值為 2,-4,故 P_1 的特徵值為 1,2,6,10,-4

 
(2) 假設 t\neq 0,套用分塊矩陣的行列式公式 (見“分塊矩陣的行列式”,公式二),

\displaystyle\begin{aligned}  p_{P_2}(t)&=\det(P_2-tI_{m+n})=\begin{vmatrix}  -tI_m&B\\  C&-tI_n  \end{vmatrix}\\  &=\det(-tI_m)\det (-tI_n-C(-tI_m)^{-1}B)\\  &=(-t)^m\det(t^{-1}CB-tI_n)\\  &=(-t)^mt^{-n}\det(CB-t^2I_n)\\  &=(-1)^{m}t^{m-n}\det(CB-t^2I_n)\\  &=(-1)^mt^{m-n}p_{CB}(t^2)\end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned}  p_{P_2}(t)  &=\det(-tI_n)\det (-tI_m-B(-tI_n)^{-1}C)\\  &=(-t)^n\det(t^{-1}BC-tI_m)\\  &=(-t)^nt^{-m}\det(BC-t^2I_m)\\  &=(-1)^{n}t^{n-m}\det(BC-t^2I_m)\\  &=(-1)^nt^{n-m}p_{BC}(t^2).\end{aligned}

對於 t=0,使用連續論證法可推得相同結果 (見“連續論證法”)。上式表明若 \lambdaBCCB 的非零特徵值,則 P_2 有特徵值 \pm\sqrt{\lambda}

 
見下例:

P_2=\begin{bmatrix}  0&B\\  C&0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    0&0&0&1&1\\    0&0&0&0&1\\    0&0&0&0&2\\    1&1&1&0&0\\    0&8&4&0&0    \end{bmatrix}

其中

B=\begin{bmatrix}    1&1\\    0&1\\    0&2    \end{bmatrix},~ C=\begin{bmatrix}    1&1&1\\    0&8&4    \end{bmatrix}

算出

BC=\begin{bmatrix}    1&9&5\\    0&8&4\\    0&16&8    \end{bmatrix},~ CB=\begin{bmatrix}    1&4\\    0&16    \end{bmatrix}

觀察 BC 的分塊上三角形式可知特徵值為 0, 1, 16CB 是上三角矩陣其特徵值為 1,16,故 P_2 的特徵值為 1,-1,4,-4,0

 
(3) 利用分塊矩陣的行列式公式 (見“分塊矩陣的行列式”,公式五),

\displaystyle\begin{aligned}  p_{P_3}(t)&=\det (P_3-tI_{2n})=\begin{vmatrix}  D-tI_n&E\\  E&D-tI_n  \end{vmatrix}\\  &=\det(D+E-tI_n)\det (D-E-tI_n)\\  &=p_{D+E}(t)p_{D-E}(t).\end{aligned}

 
見下例:

P_3=\begin{bmatrix}  D&E\\  E&D  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    3&1&1&2\\    2&3&1&1\\    1&2&3&1\\    1&1&2&3  \end{bmatrix}

其中

D=\begin{bmatrix}  3&1\\  2&3  \end{bmatrix},~ E=\begin{bmatrix}  1&2\\  1&1  \end{bmatrix}

算出

D+E=\begin{bmatrix}  4&3\\  3&4  \end{bmatrix},~ D-E=\left[\!\!\begin{array}{cr}  2&-1\\  1&2  \end{array}\!\!\right]

可得 D+E 的特徵值 1, 7D-E 的特徵值 2\pm i,其中 i=\sqrt{-1},故 P_3 的特徵值為 1, 7, 2\pm i

 
相似變換與冪矩陣

(1) 使用 Schur 定理 (見“矩陣三角化的 Schur 定理”),設 AD 可三角化為 A=USU^\astD=VTV^\ast,其中 ST 是上三角矩陣,UV 是么正矩陣 (unitary matrix),U^\ast=U^{-1}V^\ast=V^{-1}。因為 A 相似於 SD 相似於 Tp_A(t)=p_S(t)p_D(t)=p_T(t) (見“相似變換下的不變性質”)。使用 AD 的三角化形式,

\displaystyle\begin{aligned}  P_1&=\begin{bmatrix}  A&B\\  0&D  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  USU^\ast&B\\  0&VTV^\ast  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  U&0\\  0&V  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  S&U^\ast BV\\  0&T  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  U^\ast&0\\  0&V^\ast  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  U&0\\  0&V  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  S&U^\ast BV\\  0&T  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  U&0\\  0&V  \end{bmatrix}^\ast,  \end{aligned}

其中 \begin{bmatrix}  U&0\\  0&V  \end{bmatrix}^\ast=\begin{bmatrix}  U&0\\  0&V  \end{bmatrix}^{-1}。因此,P_1 相似於上三角矩陣 \begin{bmatrix}  S&U^\ast BV\\  0&T  \end{bmatrix}P_1 的特徵值即為 ST 的主對角元,即 p_S(t)p_T(t) 的根,推論 \displaystyle  p_{P_1}(t)=p_S(t)p_T(t)=p_A(t)p_D(t)

 
(2) 考慮

\displaystyle  P_2^2=\begin{bmatrix}  0&B\\  C&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&B\\  C&0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  BC&0\\  0&CB  \end{bmatrix}

其中 BCm\times m 階, CBn\times n 階。套用 P_1 的公式,p_{P_2^2}(t)=p_{BC}(t)p_{CB}(t)。使用下列事實:m\times m 階矩陣 BCn\times n 階矩陣 CB 有相同的非零特徵值 (見“AB 和 BA 有何關係?”)。具體地說,若 \mu_1,\ldots,\mu_kk\le \min\{m,n\},為 BC (同樣也是 CB) 的非零特徵值 (包含相重特徵值),則 P_2^2m+n-2k 個特徵值 0,即得

\displaystyle  p_{P_2^2}(t)=(-t)^{m+n-2k}(t-\mu_1)^2\cdots(t-\mu_k)^2

因此,P_2 有特徵值 0,(代數) 重數為 m+n-2k。另外,從 P_2^2 的非零特徵值 \mu_i 可推論 \sqrt{\mu_i}-\sqrt{\mu_i}P_2 的特徵值,i=1,\ldots,k (見“冪矩陣的特徵值與特徵向量”)。事實上,我們可以證明 P_2 有特徵值 \pm\sqrt{\mu_i} (詳見底下特徵向量的討論),故 P_2 的特徵多項式為

\displaystyle  p_{P_2}(t)=(-t)^{m+n-2k}(t^2-\mu_1)\cdots(t^2-\mu_k)

 
(3) 考慮分塊矩陣乘法

\displaystyle  \begin{bmatrix}    I&0\\  -I&I    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    D&E\\    E&D    \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}    I&0\\  I&I    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    D+E&E\\    0&D-E  \end{bmatrix}

可知 P_3=\begin{bmatrix}  D&E\\  E&D  \end{bmatrix} 相似於 \begin{bmatrix}  D+E&E\\  0&D-E  \end{bmatrix}。套用 P_1 的特徵多項式公式,p_{P_3}(t)=p_{D+E}(t)p_{D-E}(t)

 
補充說明 \begin{bmatrix}    A&B\\    0&D    \end{bmatrix} 相似於 \begin{bmatrix}    D&0\\    B&A    \end{bmatrix},故兩矩陣有相同的特徵值:

\begin{bmatrix}    0&I_n\\    I_m&0    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    A&B\\    0&D    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    0&I_m\\    I_n&0    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    D&0\\    B&A    \end{bmatrix}

同樣地,\begin{bmatrix}    0&B\\    C&0    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    0&C\\    B&0    \end{bmatrix} 也有相同的特徵值,因為

\begin{bmatrix}    0&I_n\\    I_m&0    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    0&B\\    C&0    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}    0&I_m\\    I_n&0    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    0&C\\    B&0    \end{bmatrix}

 
特徵向量

(1) 考慮特徵方程 P_1\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1\\  \mathbf{x}_2  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1\\  \mathbf{x}_2  \end{bmatrix},其中 \mathbf{x}_1\in\mathbb{C}^m\mathbf{x}_2\in\mathbb{C}^n 至少有一個是非零向量。乘開可得

\displaystyle   \begin{bmatrix}  A&B\\  0&D  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1\\  \mathbf{x}_2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A\mathbf{x}_1+B\mathbf{x}_2\\  D\mathbf{x}_2  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1\\  \mathbf{x}_2  \end{bmatrix}

\lambda 不為 D 的特徵值,則 \mathbf{x}_2=\mathbf{0}\mathbf{x}_1\neq\mathbf{0},且 A\mathbf{x}_1=\lambda\mathbf{x}_1,可知 \lambdaA 的特徵值。再考慮特徵方程 P_1^T\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1\\  \mathbf{y}_2  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1\\  \mathbf{y}_2  \end{bmatrix},其中 \mathbf{y}_1\in\mathbb{C}^m\mathbf{y}_2\in\mathbb{C}^n 至少有一個是非零向量。計算

\displaystyle   \begin{bmatrix}  A^T&0\\  B^T&D^T  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1\\  \mathbf{y}_2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A^T\mathbf{y}_1\\  B^T\mathbf{y}_1+D^T\mathbf{y}_2  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{y}_1\\  \mathbf{y}_2  \end{bmatrix}

\lambda 不為 A^T 的特徵值 (即 A 的特徵值),則 \mathbf{y}_1=\mathbf{0}\mathbf{y}_2\neq\mathbf{0},且 D^T\mathbf{y}_2=\lambda\mathbf{y}_2,可知 \lambdaD^T 的特徵值,也就是 D 的特徵值。反過來說,若 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\mathbf{x}\neq\mathbf{0},則

\displaystyle   P_1\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{0}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A&B\\  0&D  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{0}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A\mathbf{x}\\  \mathbf{0}  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{0}  \end{bmatrix}

A 的特徵值為 P_1 的特徵值。若 D^T\mathbf{y}=\lambda\mathbf{y}\mathbf{y}\neq\mathbf{0},則

P_1^T\begin{bmatrix}  \mathbf{0}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A^T&0\\  B^T&D^T  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{0}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \mathbf{0}\\  D^T\mathbf{y}  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{0}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}

D^T 的特徵值為 P_1^T 的特徵值,也就是說 D 的特徵值為 P_1 的特徵值。令 \sigma_{P_1}\sigma_A\sigma_D 分別代表 P_1AD 的矩陣譜 (spectrum,相異特徵值形成的集合)。以上討論推得 \sigma_{P_1}=\sigma_A\cup\sigma_D,剩下的工作要證明:對於每一特徵值 \lambda\in\sigma_{P_1}P_1 的重數等於 A 的重數與 D 的重數之和 (若重數為零,則表示 \lambda 不為該矩陣的特徵值),即下式 (見“特徵值的代數重數與幾何重數”),

\begin{aligned}  \dim N\left((P_1-\lambda I_{m+n})^{m+n}\right)&=\dim N\left((A-\lambda I_m)^m\right)+\dim N\left((D-\lambda I_n)^n\right)\\  &=\dim N\left((A-\lambda I_m)^{m+n}\right)+\dim N\left((D-\lambda I_n)^{m+n}\right),\end{aligned}

其中 N(X) 表示矩陣 X 的零空間 (nullspace)。寫出

\displaystyle  (P_1-\lambda I_{m+n})^{m+n}=\begin{bmatrix}  A-\lambda I_m&B\\  0&D-\lambda I_n  \end{bmatrix}^{m+n}=\begin{bmatrix}  (A-\lambda I_m)^{m+n}&\ast\\  0&(D-\lambda I_n)^{m+n}  \end{bmatrix}

即有

\displaystyle  \hbox{rank}(P_1-\lambda I_{m+n})^{m+n}\ge\hbox{rank}(A-\lambda I_m)^{m+n}+\hbox{rank}(D-\lambda I_n)^{m+n}

使用秩─零度定理,

\displaystyle\begin{aligned}  \dim N\left((P_1-\lambda I_{m+n})^{m+n}\right)&=m+n-\hbox{rank}(P_1-\lambda I_{m+n})^{m+n}\\  &\le m+n-\left(m-\dim N\left((A-\lambda I_m)^{m+n}\right)\right)-\left(n-\dim N\left((D-\lambda I_n)^{m+n}\right)\right)\\  &=\dim N\left((A-\lambda I_m)^{m+n}\right)+\dim N\left((D-\lambda I_n)^{m+n}\right).  \end{aligned}

對於 P_1 的每一個特徵值 \lambda,上式不等號不可能成立,原因如下:

\displaystyle\begin{aligned}	 	   \sum_{\lambda\in\sigma_{P_1}}\dim N\left((P_1-\lambda I_{m+n})^{m+n}\right)&=m+n\\	 	   &=\sum_{\lambda\in\sigma_{A}}\dim N\left((A-\lambda I_{m})^{m+n}\right)+\sum_{\lambda\in\sigma_{D}}\dim N\left((D-\lambda I_{n})^{m+n}\right)\\	 	   &=\sum_{\lambda\in\sigma_{P_1}}\left(\dim N\left((A-\lambda I_{m})^{m+n}\right)+\dim N\left((D-\lambda I_{n})^{m+n}\right)\right)	 	   .\end{aligned}

所以,p_{P_1}(t)=p_A(t)p_D(t)

 
(2) 設 \lambdaP_2 的一個特徵值,考慮特徵方程

\displaystyle  \begin{bmatrix}  0&B\\  C&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  B\mathbf{y}\\  C\mathbf{x}  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}

其中 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^m\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n 至少有一個是非零向量。比較等號兩邊,可得 B\mathbf{y}=\lambda\mathbf{x}C\mathbf{x}=\lambda\mathbf{y}。第一式左乘 CCB\mathbf{y}=\lambda C\mathbf{x}=\lambda^2\mathbf{y};第二式左乘 BBC\mathbf{x}=\lambda B\mathbf{y}=\lambda^2\mathbf{x}。若 \lambda\neq 0,則 \mathbf{x}\mathbf{y} 必為非零向量 (否則兩向量皆為零),m\times mBCn\times nCB 有特徵值 \lambda^2。寫出

\displaystyle  \begin{bmatrix}  0&B\\  C&0  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r}  \mathbf{x}\\  -\mathbf{y}  \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r}  -B\mathbf{y}\\  C\mathbf{x}  \end{array}\!\!\right]=-\lambda\left[\!\!\begin{array}{r}  \mathbf{x}\\  -\mathbf{y}  \end{array}\!\!\right]

因為 \begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r}  \mathbf{x}\\  -\mathbf{y}  \end{array}\!\!\right] 為線性獨立向量,上式說明 P_2 有非零特徵值 -\lambda。從 \hbox{trace}P_2=0 可斷言 P_2 的特徵值 \lambda 的重數等於特徵值 -\lambda 的重數。反過來說,若 BCCB 有非零特徵值 \mu,設 BC\mathbf{x}=\mu\mathbf{x}CB\mathbf{y}=\mu\mathbf{y}\mathbf{x}\mathbf{y} 為非零向量,則 P_2^2 有特徵值 \mu,因為

\displaystyle  P^2_2\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  BC&0\\  0&CB  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  BC\mathbf{x}\\  CB\mathbf{y}  \end{bmatrix}=\mu\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}

因此,P_2 有非零特徵值 \pm\sqrt{\mu}。設 BCCB 的非零特徵值為 \mu_1,\ldots,\mu_k,可得

\displaystyle  p_{P_2}(t)=(-t)^{m+n-2k}(t^2-\mu_1)\cdots(t^2-\mu_k)

或表示為 p_{P_2}(t)=(-1)^{n}t^{n-m}p_{BC}(t^2)p_{P_2}(t)=(-1)^{m}t^{m-n}p_{CB}(t^2)

 
(3) 設 \lambdaP_3 的一個特徵值,考慮特徵方程

\displaystyle  \begin{bmatrix}  D&E\\  E&D  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  D\mathbf{x}+E\mathbf{y}\\  E\mathbf{x}+D\mathbf{y}  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{y}  \end{bmatrix}

其中 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n 至少有一個是非零向量。比較等號兩邊,D\mathbf{x}+E\mathbf{y}=\lambda\mathbf{x}E\mathbf{x}+D\mathbf{y}=\lambda\mathbf{y}。令兩式相加可得 (D+E)(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\lambda(\mathbf{x}+\mathbf{y}),兩式相減可得 (D-E)(\mathbf{x}-\mathbf{y})=\lambda(\mathbf{x}-\mathbf{y}),故 \lambdaD+ED-E 的特徵值 (\mathbf{x}-\mathbf{y}\mathbf{x}+\mathbf{y} 不可能同為零向量)。反向推論也成立:若 \lambdaD+ED-E 的特徵值,則 \lambdaP_3 的特徵值。設 (D+E)\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\mathbf{x}\neq\mathbf{0},則

\displaystyle  \begin{bmatrix}  D&E\\  E&D  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{x}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  D\mathbf{x}+E\mathbf{x}\\  E\mathbf{x}+D\mathbf{x}  \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}  \mathbf{x}\\  \mathbf{x}  \end{bmatrix}

(D-E)\mathbf{y}=\lambda\mathbf{y}\mathbf{y}\neq\mathbf{0},則

\displaystyle  \begin{bmatrix}  D&E\\  E&D  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r}  \mathbf{y}\\  -\mathbf{y}  \end{array}\!\!\right]=\begin{bmatrix}  D\mathbf{y}-E\mathbf{y}\\  E\mathbf{y}-D\mathbf{y}  \end{bmatrix}=\lambda\left[\!\!\begin{array}{r}  \mathbf{y}\\  -\mathbf{y}  \end{array}\!\!\right]

以上結果說明 \sigma_{P_3}=\sigma_{D+E}\cup\sigma_{D-E}。因為 P_3-\lambda I_{2n}=\begin{bmatrix}  D-\lambda I_n&E\\  E&D-\lambda I_n  \end{bmatrix} 相似於 \begin{bmatrix}  D+E-\lambda I_n&E\\  0&D-E-\lambda I_n  \end{bmatrix}(P_3-\lambda I_{2n})^{2n} 相似於

\begin{bmatrix}  D+E-\lambda I_n&E\\  0&D-E-\lambda I_n  \end{bmatrix}^{2n}=\begin{bmatrix}  (D+E-\lambda I_n)^{2n}&\ast\\  0&(D-E-\lambda I_n)^{2n}  \end{bmatrix}

套用 (1) 的推演步驟,可證明對於每一 \lambda\in\sigma_{P_3}

\dim N\left((P_3-\lambda I_{2n})^{2n}\right)=\dim N\left((D+E-\lambda I_n)^{2n}\right)+\dim N\left((D-E-\lambda I_n)^{2n}\right)

所以,p_{P_3}(t)=p_{D+E}(t)p_{D-E}(t)

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11 則回應給 分塊矩陣特徵值的計算方法

  1. 訪客 說:

    請問對稱矩陣也能分區運算嗎?
    想試著用這概念, 但似乎無法推導!

  2. ccjou 說:

    是何種形式的對稱矩陣?不論對稱與否,只要符合本文 P_1P_2 形式即可採用上述方式推導特徵多項式。

  3. liang dai 說:

    最后补充说明的那个结论是不是可以这样来记忆:在对角线(主,次)上的两个分块矩阵同时交换位置(相当于分别左右乘初等矩阵),与原矩阵相似。

  4. ccjou 說:

    啊,對的。那兩個式子其實應該併成一個:
    \begin{bmatrix} 0&I_n\\ I_m&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&I_m\\ I_n&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} D&C\\ B&A \end{bmatrix}
    A\leftrightarrow DC\leftrightarrow B 保持相似性。

  5. yetengqi 說:

    Thank you sir. But the proof of P1 is not rigorous: the eigenvalues of P1 contain that of A and D, but how to prove the eigenvalues of P1 only contain that of A and D?

    Looking forward to your reply. Thanks a lot.

    • ccjou 說:

      Let \lambda be an eigenvalue of P_1=\begin{bmatrix} A&B\\ 0&D \end{bmatrix} and \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} be the corresponding eigenvector. It follows that
      \begin{bmatrix} A&B\\ 0&D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} Ax+By\\ Dy \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}.
      Thus, Ax+By=\lambda  x and Dy=\lambda y. If y\neq 0, \lambda is an eigenvalue of D. If y=0, we have Ax=\lambda x. Since x\neq 0, \lambda is an eigenvalue of A.

      • Meiyue Shao 說:

        其实即便如此仍不足以直接推出保持代数重数的结论,最好还是算特征多项式或者化Schur型,对P2亦是如此。

        • ccjou 說:

          是的,上面只證明了 P_1 的譜(相異特徵值形成的集合)等於 AD 的譜聯集,應該要證明 \dim N(P_1-\lambda I_{m+n})^{m+n}=\dim N(A-\lambda I_m)^m+\dim N(D-\lambda I_n)^n 才對。等有空時再修訂。

  6. ccjou 說:

    根據以上網友回應,已將原文修訂改寫。

  7. 方文珊 說:

    您好,如果是广义特征向量,可以进行文中类似的分解吗,例如lamda[A,B;B,0]=lamda[A,0;0,B]V

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