同構的向量空間

本文的閱讀等級:初級

1990年,美國國家科學基金會 NSF 資助成立一個線性代數課程研究小組,研議新一代大學線性代數課程綱領。結論包含五項建議[1],其中關於線性代數教學內容部分,研究小組建議應符合不同領域的實務需求,基礎線性代數講授應導向矩陣及其應用。修改教程的意圖顯然是減少線性代數的抽象內容,以加速線性代數於其他學門的普及應用。此後出版的一些教科書也逐漸將課程綱要從以往的線性變換基調轉移至矩陣與向量空間並行的發展主軸。今天,除了幾何變換或座標變換之外,我們不常在課本中發現線性變換的蹤影。本文將解釋這項變革背後的緣由,主要的思維是利用座標映射概念聯繫有限維向量空間與幾何向量空間 \mathbb{R}^n (或複向量空間 \mathbb{C}^n)。

 
\mathbb{R}^n 為包含 n 個實數的向量集合。若 \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n) 屬於 \mathbb{R}^n,根據向量運算的定義我們可以寫出

\begin{aligned}  \mathbf{x}+\mathbf{y}&=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\\    c\mathbf{x}&=(cx_1,\ldots,cx_n)\\    \mathbf{0}&=(0,\ldots,0)\\    -\mathbf{x}&=(-x_1,\ldots,-x_n)\end{aligned}

\mathcal{P}_{n-1} 表示階數不大於 n-1 的實多項式所成的集合。若 p(t)=p_0+p_1t+\cdots+p_{n-1}t^{n-1}q(t)=q_0+q_1t+\cdots+q_{n-1}t^{n-1} 屬於 \mathcal{P}_{n-1},就有

\begin{aligned}  p(t)+q(t)&=(p_0+q_0)+(p_1+q_1)t+\cdots+(p_{n-1}+q_{n-1})t^{n-1}\\    cp(t)&=(cp_0)+(cp_1)t+\cdots+(cp_{n-1})t^{n-1}\\    0(t)&=0+0t+\cdots+0t^{n-1}\\    -p(t)&=-p_0-p_1t-\cdots-p_{n-1}t^{n-1}\end{aligned}

比較發現集合 \mathbb{R}^n\mathcal{P}_{n-1} 擁有相同的運算規則,而且兩者都滿足下面八個公理,其中 A 類與加法有關,B 類與乘法有關,C 類與加法及乘法有關。以下純量屬於相同的數系。

(A1) \mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}

(A2) \mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})=(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}

(A3) 存在唯一 \mathbf{0}\in\mathcal{V} 使得 \mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x}

(A4) 存在唯一 -\mathbf{x} 使得 \mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0}

(B1) c(d\mathbf{x})=(cd)\mathbf{x}

(B2) 1\mathbf{x}=\mathbf{x}

(C1) c(\mathbf{x}+\mathbf{y})=c\mathbf{x}+c\mathbf{y}

(C2) (c+d)\mathbf{x}=c\mathbf{x}+d\mathbf{x}

對於向量空間 \mathcal{V} 中任意向量 \mathbf{x}\mathbf{y},若有向量加法 \mathbf{x}+\mathbf{y} 和純量乘法 c\mathbf{x} 定義,上述公理即為向量空間所必須滿足的條件 (見“線性代數裡的代數結構”)。

 
向量空間是線性代數處理的主要數學物件,使向量空間有趣的數學程序就是線性變換。考慮定義於向量空間 \mathcal{V} 的線性變換 T,記為 T:\mathcal{V}\to\mathcal{V},它將 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 映射至 T(\mathbf{x})\in\mathcal{V},而且

\begin{aligned}  T(\mathbf{x}+\mathbf{y})&=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})\\    T(c\mathbf{x})&=cT(\mathbf{x})\end{aligned}

其中 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}c 是一純量。定義於向量空間 \mathcal{V} 的線性變換所形成的集合本身也是一個向量空間。若 ST 為線性變換,我們定義加法運算為 P=S+T,對於任意 \mathbf{x}\in\mathcal{V}ST 之和為 P(\mathbf{x})=S(\mathbf{x})+T(\mathbf{x});又定義純量乘法 Q=cT,算式為 Q(\mathbf{x})=cT(\mathbf{x})。不難驗證線性變換的加法與純量乘法滿足上述向量空間要求的八個公理。一般基礎線性代數課本不會刻意強調線性變換本身也是向量空間 (但可能提到 m\times n 階矩陣形成的集合為一向量空間) ,原因是線性變換的真正價值是它具有移動與聯繫向量子空間的能力,也就是我們熟知的矩陣乘法運算,這項功能遠比它本身是向量空間來得有意義。下面我們就利用線性變換將外表看似相異的二個向量空間連結在一起。

 
\mathcal{U}\mathcal{V} 為佈於相同數系的向量空間,且 \mathbf{x}\in\mathcal{U}\mathbf{y}\in\mathcal{V} 彼此存在一對一的對應關係,表示為線性變換 T 使得 \mathbf{y}=T(\mathbf{x}),則 \mathcal{U}\mathcal{V} 稱為同構 (isomorphic),記為 \mathcal{U}\cong\mathcal{V}。同構的英文字首 isos 意為「相同」,morphe 是指「形狀」或「結構」,換句話說 T 就是保留結構的同構映射 (isomorphism)。同構的廣義概念是把已知的數學理論擴展至不同領域,只要領域是同構的,就沒有必要為新領域重新建立一套理論。對向量空間而言,同構意指擁有相同的屬性與線性關係。明顯地,若 \mathcal{U}\cong\mathcal{V},則 \dim\mathcal{U}=\dim\mathcal{V},因為 \mathcal{U} 的每一組基底也都對應 \mathcal{V} 的一組基底。更驚人的事實是,佈於相同數系 (如 \mathbb{R}\mathbb{C}) 且有相同維數的任何向量空間都是同構的。同構具有傳遞性,亦即如果 \mathcal{U}\cong\mathcal{V}\mathcal{V}\cong \mathcal{W},則 \mathcal{U}\cong\mathcal{W}。因此我們只需要證明任意 n 維向量空間 \mathcal{V} 和某個特定的 n 維向量空間同構即可,此一特定向量空間就是 \mathbb{R}^n (若 \mathcal{V} 佈於複數系,則替換為 \mathbb{C}^n)。

 
證明思路源自基底,也就是座標系統的概念。令 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 為向量空間 \mathcal{V} 的一組基底。對於 \mathcal{V} 中的任意向量 \mathbf{x},有而且僅有一種以基底向量的線性組合表達 \mathbf{x} 的方式,如下:

\mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n

將有序純量 (c_1,\ldots,c_n) 視為 \mathbb{R}^n 向量,稱為座標向量,符號記作 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}。向量 \mathbf{x} 與其座標向量 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}} 呈現了存在於 \mathcal{V}\mathbb{R}^n 的一對一相映關係:

\mathbf{x}\rightleftharpoons[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}

表達此相映關係的線性變換稱為座標映射:

\begin{aligned}  L(\mathbf{x})&=[\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}    c_1\\    \vdots\\    c_n    \end{bmatrix}\end{aligned}

顯然 L 是可逆的,也就有 L^{-1}([\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}})=\mathbf{x}。以向量空間 \mathcal{P}_{n-1} 為例,\mathcal{P}_{n-1}\mathbb{R}^n 是同構的。考慮 \mathcal{P}_{n-1} 的標準基底 \{1,t,\ldots,t^{n-1}\},實多項式 p(t)=p_0+p_1t+\cdots+p_{n-1}t^{n-1} 的座標向量即為 p(t) 的係數所構成的有序實數純量集 (p_0,p_1,\cdots,p_{n-1}),故聯繫 \mathcal{P}_{n-1}\mathbb{R}^n 的座標映射為

\begin{aligned}  L\left(p(t)\right)&=L\left(p_0+p_1t+\cdots+p_{n-1}t^{n-1}\right)=\begin{bmatrix}    p_0\\    p_1\\    \vdots\\    p_{n-1}    \end{bmatrix}\end{aligned}

 
至此讀者可能懷疑既然任意 n 維向量空間 \mathcal{V} 和幾何向量空間 \mathbb{R}^n\mathbb{C}^n 同構,那就沒有分別研究不同向量空間的必要,我們只需要專注於 \mathbb{R}^n\mathbb{C}^n 的線性問題即可。事實上,近代基礎線性代數教科書經常採用這個策略:將課程重心集中在定義於幾何向量空間的矩陣變換。不過,忽略原本定義於向量空間 \mathcal{V} 的線性變換或許不至於妨礙操作計算,卻可能因此遮蔽了線性變換的一些重要屬性與本質。線性變換的許多性質與所選擇的座標系統無關,譬如,線性變換的特徵值不因所參考的基底不同而改變,但在矩陣變換中,我們必須從另一個觀點──兩相似矩陣擁有相同的特徵值──來認識這個基本性質。

 
註解
[1] 線性代數課程研究小組的建議報告 The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra 發表於 The College Mathematical Journal , Vol. 24, No. 1, Jan. 1993, pp. 41-46,原文有五項建議:

  1. The syllabus and presentation of the first course in linear algebra must respond to the needs of client disciplines.
  2. Mathematics departments should seriously consider making their first course in linear algebra a matrix-oriented course.
  3. Faculty should consider the needs and interests of students as learners.
  4. Faculty should be encouraged to utilize technology in the first linear algebra course.
  5. At least one “second course” in matrix theory/linear algebra should be a high priority for every mathematics curriculum.
延伸閱讀:
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9 Responses to 同構的向量空間

  1. Watt Lin 說道:

    老師:

    我很欣賞這篇文章,看了有很大的收穫。

    “isos 意為相同" 這句話,
    我查一下,"isos"應該是"iso" 或者 “iso-“,
    建議老師修改,全文更臻完善。

  2. Watt Lin 說道:

    在blog留言,打英文的引號“”被自動轉換為中文的『』引號,
    但是有時卻出現』』,這種電腦的自動化錯誤,不知有沒有方法改善。

    雖然我看得懂,也瞭解這不是人為的錯,但其他人若第一次看到,難免會有「可惜!」的感覺。

    整個blog作得很好,這個小細節如果可以修正,就更好了!

  3. ccjou 說道:

    謝謝你的建議。

    我在撰寫本文之初曾經上 wiktionary 查詢確定 isomorphism 的原意,此字來自古希臘文,isos (‘equal’)+ morphe (‘shape’),但合成一個字時就將 isos 後面的 s 拿走,我猜可能是為了容易讀吧。
    http://en.wiktionary.org/wiki/isomorphism
    經你一提,為再次確定,又上了一個古希臘文的專門網站查詢,得到同樣的結果。
    http://www.searchgodsword.org/lex/grk/view.cgi?number=2470

    打印英文雙引號的確會被系統自動轉換為中文引號,已請託管理員設法解決,這很可能跟我們使用的 wordpress 版面設定有關。另外,為提昇這個部落格的品質(包含外觀,功能,以及便利性),我們計畫於暑期更新版面,讀者朋友們如果願意提供改進意見,請至交流園地的問題回報區留言。任何意見或建議我們都樂意聆聽。

  4. Watt Lin 說道:

    關於 iso 我只有查普通字典。
    原來老師也是很細心,查證古希臘文。

    今天我學到一件事: isos 是古代用法。
    平常看到不少 iso 為首的英文字,以前一直認為 iso 是原來的拼字。

  5. ccjou 說道:

    this is a “test"
    this is a ‘test’
    感謝管理員的努力,讓英文雙引號恢復原貌。

  6. 閻天立 說道:

    老師 我想請問 8個公理是建立在原本向量或是子空間加法跟乘法具有封閉性 可是我們要怎麼證明這封閉性呢?

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