行列式的幾何意義

本文的閱讀等級：中級

多數學者對於利用行列式求面積或體積並不陌生，高中數學曾經採用幾何方法證明了二階方陣 $A$ 的行列式絕對值 $\vert\det A\vert$ 即為其行 (column) 向量或列 (row) 向量所張開的平行四邊形面積 (見“行列式的運算公式與性質”)，而三階方陣的行列式絕對值則為三維行 (列) 向量所張開的平行六面體體積。若 $A$ 與 $B$ 是同階方陣，方陣乘積的行列式可乘公式

$\det (AB)=(\det A)(\det B)$

也有清楚的幾何意義。以二階方陣說明， $\det B$ 表示 $B$ 行向量所張的平行四邊形面積， $\det(AB)$ 是該面積經過線性變換 $A$ 之後的平行四邊形面積，被線性變換伸縮了 $\det A$ 倍 (見“線性變換把面積伸縮了”)。

對於 $m\times n$ 階實矩陣 $A$ ，大概只有少數人知道 $\sqrt{\det (A^{T}A)}$ 等於 $A$ 的 $n$ 個行向量於 $\mathbb{R}^{m}$ 空間所張開的平行多面體體積。注意， $A^TA$ 是半正定矩陣 (見“正定矩陣的性質與判別方法”)，因此 $\det(A^TA)\ge 0$ 。試舉一例，欲求三維空間兩個向量 $(1,0,1)$ 和 $(-2,2,-1)$ 所張的平行四邊形面積，可設

$A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-2\\ 0&2\\ 1&-1 \end{array}\!\!\right]$ 。

計算 $A^TA=\left[\!\!\begin{array}{rr} 2&-3\\ -3&9 \end{array}\!\!\right]$ ，故面積為 $\sqrt{\det(A^TA)}=\sqrt{9}=3$ 。“Cauchy-Binet 公式”一文曾以 Cauchy-Binet 行列式計算公式說明這個事實，但推論過程涉及向量空間分析因此稍嫌曲折。本文介紹一個較富幾何直覺的證明，僅需要兩個基本知識：QR 分解和方陣乘積的行列式可乘公式。

我們先討論三維空間的問題。考慮 $\mathbb{R}^3$ 的兩個不共線向量 $(a_1,a_2,a_3)$ 與 $(b_1,b_2,b_3)$ 所張開的平行四邊形的面積計算問題。令 $A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}&\mathbf{b} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2\\ a_3&b_3 \end{bmatrix}$ ，其中 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是行向量。令 $B=\begin{bmatrix} \mathbf{a}&\mathbf{b}&\mathbf{c} \end{bmatrix}$ ，其中 $\mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}/\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert$ 。因為 $\mathbf{c}\perp\mathbf{a}$ 且 $\mathbf{c}\perp\mathbf{b}$ ，

$B^TB=\begin{bmatrix} \mathbf{a}^T\\ \mathbf{b}^T\\ \mathbf{c}^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{a}&\mathbf{b}&\mathbf{c} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{a}^T\mathbf{a}&\mathbf{a}^T\mathbf{b}&\mathbf{a}^T\mathbf{c}\\ \mathbf{b}^T\mathbf{a}&\mathbf{b}^T\mathbf{b}&\mathbf{b}^T\mathbf{c}\\ \mathbf{c}^T\mathbf{a}&\mathbf{c}^T\mathbf{b}&\mathbf{c}^T\mathbf{c} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{a}^T\mathbf{a}&\mathbf{a}^T\mathbf{b}&0\\ \mathbf{b}^T\mathbf{a}&\mathbf{b}^T\mathbf{b}&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A^TA&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$ 。

所以， $\det(A^TA)=\det(B^TB)=(\det B^T)(\det B)=(\det B)^2$ 。注意 $\det B$ 等於 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 所張的平行六面體的有號 (signed) 體積。因為 $\mathbf{c}$ 是 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$ 所在平面遵守右手定則的單位法向量， $\det B\ge 0$ ，且 $\det B=\sqrt{\det(A^TA)}$ 就是 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$ 所張的平行四邊形面積 (平行六面體的高等於 $1$ )。另外，使用行列式與外積的關係式可證明向量 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$ 的外積長等於兩向量所張的平行四邊形面積 (見“內積與外積是怎麼來的？”)：

$\displaystyle \begin{aligned} \det B&=\det\begin{bmatrix} \mathbf{a}&\mathbf{b}&\mathbf{c} \end{bmatrix}=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}\\ &=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert}=\Vert\mathbf{a}\times\mathbf{b}\Vert. \end{aligned}$

接著推廣至高階矩陣。考慮 $\mathbb{R}^m$ 空間中一個線性獨立向量集 $\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\}$ 。令 $V_n$ 表示由 $\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n$ ， $m\ge n>1$ ，所張開的平行多面體體積。見圖一，向量 $\mathbf{a}_1$ 和 $\mathbf{a}_2$ 所決定的平行四邊形面積等於虛線長方形面積，底 $\mathbf{a}_1$ 的長度為 $v_1=\Vert\mathbf{a}_1\Vert$ 。設 $P_1$ 代表投影至 $\mathbf{a}_1$ 所擴張直線 $\mathrm{span}\{\mathbf{a}_1\}$ 的 $m$ 階正交投影矩陣， $I-P_1$ 則為映至正交補空間 $\mathrm{span}\{\mathbf{a}_1\}^{\perp}$ 的正交投影矩陣。平行四邊形的高即為 $v_2=\Vert(I-P_1)\mathbf{a}_2\Vert$ ，故面積等於

$\begin{aligned} V_2&=v_1v_2=\Vert\mathbf{a}_1\Vert\cdot\Vert(I-P_1)\mathbf{a}_2\Vert\end{aligned}$ 。

圖一兩向量所張的平行四邊形

同樣道理，平行六面體體積 $V_3$ 等於底面積與高的乘積，底面積為 $V_2$ ，高則為 $\mathbf{a}_3$ 至 $\mathrm{span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\}^{\perp}$ 的投影分量長度 $v_3=\Vert(I-P_{1,2})\mathbf{a}_3\Vert$ ， $P_{1,2}$ 表示至 $\mathrm{span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\}$ 的正交投影矩陣 (見圖二)。因此，向量集 $\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}$ 所張的平行六面體體積為

$\begin{aligned} V_3&=v_1v_2v_3=\Vert\mathbf{a}_1\Vert\cdot\Vert(I-P_1)\mathbf{a}_2\Vert\cdot\Vert(I-P_{1,2})\mathbf{a}_3\Vert\end{aligned}$ 。

圖二三向量所張的平行六面體

繼續延伸可歸納出一般結果，向量集 $\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\}$ 所張的平行多面體體積如下：

$\begin{aligned} V_n&=v_1v_2v_3\cdots v_n\\ &=\Vert\mathbf{a}_1\Vert\cdot\Vert(I-P_1)\mathbf{a}_2\Vert\cdot\Vert(I-P_{1,2})\mathbf{a}_3\Vert\cdots\Vert(I-P_{1,2,\ldots,n-1})\mathbf{a}_n\Vert,\end{aligned}$

上式中 $P_{1,2,\ldots,n-1}$ 表示映射至 $\mathrm{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_{n-1}\}$ 的正交投影矩陣。

下一個問題是實際如何計算平行多面體體積 $V_n$ ？考慮 $v_1=\Vert\mathbf{a}_1\Vert$ ，對於 $k>1$ ， $v_{k}=\Vert(I-P_{1,\ldots,k-1})\mathbf{a}_k\Vert$ 。化簡正交投影矩陣的計算依賴 QR 分解 (詳見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”)，設 $m\times n$ 階矩陣 $Q=\begin{bmatrix} \mathbf{q}_1&\cdots\mathbf{q}_n \end{bmatrix}$ 包含單範正交 (orthonormal) 行向量： $\mathbf{q}_i^T\mathbf{q}_j=0$ 若 $i\neq j$ ，對任意 $i$ ， $\mathbf{q}_i^T\mathbf{q}_i=1$ 。因此 $Q^{T}Q=I_n$ ，而 $R=[r_{ij}]$ 為 $n$ 階上三角矩陣。將 QR 分解展開：

$\begin{aligned} \mathbf{a}_1&=r_{11}\mathbf{q}_{1}\\ \mathbf{a}_2&=r_{12}\mathbf{q}_{1}+r_{22}\mathbf{q}_2\\ &\vdots\\ \mathbf{a}_n&=r_{1n}\mathbf{q}_1+r_{2n}\mathbf{q}_2+\cdots+r_{nn}\mathbf{q}_n.\end{aligned}$

對於 $j\ge i$ ，計算 $\mathbf{q}_i$ 和 $\mathbf{a}_j$ 的內積發現

$\begin{aligned} \mathbf{q}_i^T\mathbf{a}_j&=\mathbf{q}_i^T(r_{1j}\mathbf{q}_1+\cdots+r_{jj}\mathbf{q}_j)=r_{ij}\mathbf{q}_i^T\mathbf{q}_i=r_{ij}.\end{aligned}$

另一方面，向量集 $\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_k\}$ 和 $\{\mathbf{q}_1,\ldots,\mathbf{q}_k\}$ 擴張出相同的子空間，因此正交投影矩陣 $P_{1,\ldots,k-1}$ 也可用 $Q_{k-1}=\begin{bmatrix} \mathbf{q}_1&\cdots&\mathbf{q}_{k-1} \end{bmatrix}$ 表示為 (見“正交投影──威力強大的線代工具”)

$P_{1,\ldots,k-1}=Q_{k-1}Q_{k-1}^{T}$ 。

計算投影量 $(I-P_{1,\ldots,k-1})\mathbf{a}_k$ ，如下：

$\begin{aligned} (I-P_{1,\ldots,k-1})\mathbf{a}_k&=\mathbf{a}_k-Q_{k-1}Q_{k-1}^{T}\mathbf{a}_k\\ &=\mathbf{a}_k-\begin{bmatrix} \mathbf{q}_1&\cdots&\mathbf{q}_{k-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{q}_1^T\mathbf{a}_k\\ \vdots\\ \mathbf{q}_{k-1}^{T}\mathbf{a}_k \end{bmatrix}\\ &=\mathbf{a}_k-\begin{bmatrix} \mathbf{q}_1&\cdots&\mathbf{q}_{k-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_{1k}\\ \vdots\\ r_{k-1,k} \end{bmatrix}\\ &=\mathbf{a}_k-r_{1k}\mathbf{q}_1-\cdots-r_{k-1,k}\mathbf{q}_{k-1}\\ &=r_{kk}\mathbf{q}_k,\end{aligned}$

再計算向量長度可得

$\begin{aligned} v_k&=\Vert(I-P_{1,\ldots,k-1})\mathbf{a}_k\Vert=\Vert r_{kk}\mathbf{q}_k\Vert=\vert r_{kk}\vert\end{aligned}$ 。

因此，

$\begin{aligned} V_n&=v_1v_2\cdots v_n=\vert r_{11}r_{22}\cdots r_{nn}\vert=\vert\det R\vert\end{aligned}$ ，

矩陣 $A$ 其行向量所張開的平行多面體體積等於 $R$ 的行列式絕對值。

最後我們解釋 $\det(A^TA)$ 的幾何意義。同樣利用 QR 分解結果 $Q^{T}Q=I_n$ 以及矩陣乘積的行列式可乘公式 (參閱“利用分塊矩陣證明 det(AB)=det(A)det(B)”)，可得

$\begin{aligned} \det(A^{T}A)&=\det(R^TQ^TQR)=\det(R^TR)=(\det R^T)(\det R)\\ &=(\det R)(\det R)=(\det R)^2\\ &=(r_{11}\cdots r_{nn})^2=V_n^2,\end{aligned}$

故 $\sqrt{\det(A^{T}A)}=\vert\det R\vert=V_n$ 。若 $m=n$ ， $A$ 為 $n$ 階方陣，則

$\begin{aligned} \det(A^{T}A)&=(\det A^{T})(\det A)=(\det A)^2\end{aligned}$ ，

此即我們過去熟悉的結果： $V_n=\vert\det A\vert$ 。

4 Responses to 行列式的幾何意義

wOOL says:

05/09/2010 at 12:56 pm

‘A的n个行向量’于R^m空间所张开的平行多面体体积 -> 这里应该是’A的n个列向量’吧

ccjou says:

05/09/2010 at 6:14 pm

這是用語不同造成的誤會。在中國大陸，橫向稱為行，縱向稱為列；在台灣，橫向稱為列，縱向稱為行。

suehang says:

06/07/2015 at 1:21 pm

上述混淆问题的只有靠数学符号自身来解决了.

hz11532263 says:

09/19/2020 at 11:27 pm

對於 m\times n 階實矩陣 A，大概只有少數人知道 \sqrt{\det (A^{T}A)} 等於 A 的 n 個行向量於 \mathbb{R}^{m} 空間所張開的平行多面體體積。

請問這裡是否應該加上 m > n 這一條件呢？

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